Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten luku jaetaan alkutekijöihin?
Luku jaetaan alkutekijöihin jakamalla sitä toistuvasti alkuluvuilla pienimmästä alkaen: ensin kahdella niin kauan kuin jako menee tasan, sitten kolmella, viidellä ja niin edelleen. Tuloksena luku esitetään alkulukujen tulona, esimerkiksi 360 = 2³ · 3² · 5. Aritmetiikan peruslauseen mukaan hajotelma on yksikäsitteinen tekijöiden järjestystä lukuun ottamatta.
Alkuluku on ykköstä suurempi kokonaisluku, jonka ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja luku itse. Luku 1 ei ole alkuluku. Jos se olisi, hajotelma ei olisi yksikäsitteinen, koska ykkösiä voisi lisätä tuloon mielivaltaisesti.
Kun tarkistetaan, onko luku n alkuluku, riittää kokeilla alkulukuja, jotka ovat enintään √n. Jos n = ab ja molemmat tekijät olisivat suurempia kuin √n, tulo olisi suurempi kuin n. Luvun 97 tarkistamiseen riittävät alkuluvut 2, 3, 5 ja 7.
Hajotelmasta luetaan tekijöiden lukumäärä: jokaiseen eksponenttiin lisätään yksi ja tulokset kerrotaan. Luvulla 360 = 2³ · 3² · 5 on (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 positiivista tekijää. Samasta hajotelmasta saadaan myös suurin yhteinen tekijä ja pienin yhteinen jaettava.
Kaava
n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · ... · pₖ^aₖ
positiivisten tekijöiden lukumäärä = (a₁ + 1)(a₂ + 1) ... (aₖ + 1)
Esimerkki
Muodosta luvun 1260 alkutekijähajotelma ja laske sen positiivisten tekijöiden lukumäärä.
- 1260 = 2 · 630 = 2² · 315.
- 315 = 3 · 105 = 3² · 35, ja 35 = 5 · 7.
- 1260 = 2² · 3² · 5 · 7.
- Tekijöitä on (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 36.
Tyypillinen virhe
Hajotelmaan jää yhdistetty luku, esimerkiksi 1260 = 4 · 9 · 35. Tulo on oikein, mutta tekijät 4, 9 ja 35 eivät ole alkulukuja, joten hajotelma ei ole valmis eikä tekijöiden lukumäärää voi lukea siitä.
Valintakokeessa A
Kurssissa lukuteoria on täydentävissä luvuissa. Valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026 pitkän matematiikan pakollisiin ja valtakunnallisiin valinnaisiin sisältöihin, ja jaollisuuspäättelyä voidaan tarvita myös loogisen päättelyn pulmissa.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 25: Lukuteoria: jaollisuus, alkutekijät ja jakojäännökset. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Onko 1 alkuluku?
Ei ole. Alkuluku määritellään ykköstä suuremmaksi kokonaisluvuksi, jolla on tasan kaksi positiivista tekijää. Luvulla 1 on vain yksi tekijä. Määritelmä on valittu niin, että jokaisen luvun alkutekijähajotelma on yksikäsitteinen. Pienin alkuluku on 2, ja se on ainoa parillinen alkuluku.
Montako alkulukua on olemassa?
Alkulukuja on äärettömän monta. Eukleideen todistuksessa oletetaan, että niitä olisi äärellinen määrä, ja muodostetaan niiden kaikkien tulo plus yksi. Mikään listan alkuluku ei jaa tätä lukua, joten listasta puuttuu alkuluku, ja oletus on väärä.