Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten suurin yhteinen tekijä lasketaan?
Kahden luvun suurin yhteinen tekijä syt(a, b) on suurin luku, joka jakaa molemmat. Se saadaan alkutekijähajotelmista valitsemalla yhteiset alkutekijät pienemmällä eksponentilla tai Eukleideen algoritmilla toistuvilla jakolaskuilla. Pienin yhteinen jaettava pyj(a, b) saadaan ottamalla kaikki alkutekijät suuremmalla eksponentilla, ja lisäksi syt(a, b) · pyj(a, b) = ab.
Esimerkiksi 84 = 2² · 3 · 7 ja 90 = 2 · 3² · 5. Yhteiset alkutekijät ovat 2 ja 3 pienemmillä eksponenteilla, joten syt = 2 · 3 = 6. Pienin yhteinen jaettava on 2² · 3² · 5 · 7 = 1260.
Eukleideen algoritmi perustuu siihen, että syt(a, b) = syt(b, r), missä r on jakojäännös, kun a jaetaan b:llä. Jakolaskuja jatketaan, kunnes jakojäännös on nolla. Viimeinen nollasta eroava jakojäännös on suurin yhteinen tekijä. Algoritmi toimii myös suurilla luvuilla, joiden hajotelmaa on vaikea löytää.
Pienintä yhteistä jaettavaa tarvitaan esimerkiksi murtolukujen yhteisessä nimittäjässä ja jaksollisissa tapahtumissa: kaksi toistuvaa tapahtumaa osuvat uudelleen samalle hetkelle jaksojen pienimmän yhteisen jaettavan välein.
Kaava
syt(a, b) · pyj(a, b) = a · b
Eukleideen algoritmi: syt(a, b) = syt(b, r), missä r on a:n jakojäännös b:llä jaettaessa
Esimerkki
Laske syt(252, 198) Eukleideen algoritmilla ja sen avulla pyj(252, 198).
- 252 = 1 · 198 + 54.
- 198 = 3 · 54 + 36, 54 = 1 · 36 + 18 ja 36 = 2 · 18 + 0.
- Viimeinen nollasta eroava jakojäännös on 18, joten syt(252, 198) = 18.
- pyj(252, 198) = 252 · 198 / 18 = 2772.
Tyypillinen virhe
Suurin yhteinen tekijä ja pienin yhteinen jaettava sekoitetaan. Suurin yhteinen tekijä on enintään pienemmän luvun suuruinen, ja pienin yhteinen jaettava on vähintään suuremman luvun suuruinen. Tämä karkea tarkistus paljastaa väärän vastauksen.
Valintakokeessa A
Jaollisuus kuuluu lukuteoriaan, joka on kurssissa täydentävissä luvuissa. Valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026 pitkän matematiikan pakollisiin ja valtakunnallisiin valinnaisiin sisältöihin, ja jaollisuutta voidaan tarvita myös loogisen päättelyn pulmissa.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 25: Lukuteoria: jaollisuus, alkutekijät ja jakojäännökset. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä tarkoittaa, että luvut ovat keskenään jaottomia?
Luvut ovat keskenään jaottomia, kun niiden suurin yhteinen tekijä on 1 eli niillä ei ole yhteisiä alkutekijöitä. Esimerkiksi 8 ja 15 ovat keskenään jaottomia, vaikka kumpikaan ei ole alkuluku. Silloin niiden pienin yhteinen jaettava on niiden tulo 120.
Milloin pienintä yhteistä jaettavaa tarvitaan?
Pienintä yhteistä jaettavaa tarvitaan, kun etsitään ensimmäistä yhteistä hetkeä kahdelle toistuvalle asialle. Jos bussi lähtee 12 minuutin ja juna 18 minuutin välein, ne lähtevät taas yhtä aikaa pyj(12, 18) = 36 minuutin kuluttua. Samoin murtolukujen yhteinen nimittäjä on nimittäjien pienin yhteinen jaettava.