Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten polynomien jakolasku tehdään?
Polynomien jakolasku tehdään jakokulmassa samaan tapaan kuin lukujen jakolasku: jaettavan korkeimman asteen termi jaetaan jakajan korkeimman asteen termillä, tulos kerrotaan jakajalla, vähennetään ja jatketaan. Tulos kirjoitetaan jakoyhtälönä P(x) = Q(x)D(x) + J(x), jossa jakojäännöksen J aste on pienempi kuin jakajan D aste.
Puuttuvat asteet kirjoitetaan näkyviin nollakertoimilla, jotta termit pysyvät oikeissa sarakkeissa. Polynomi x³ − 1 käsitellään muodossa x³ + 0x² + 0x − 1.
Jos jakojäännös on nolla, jakaja on polynomin tekijä ja jako menee tasan. Silloin polynomi voidaan kirjoittaa tulona, ja korkeamman asteen yhtälö palautuu matalamman asteen yhtälöksi.
Tuloksen voi aina tarkistaa kertomalla osamäärän jakajalla ja lisäämällä jakojäännöksen. Tuloksen on oltava täsmälleen alkuperäinen polynomi.
Kaava
P(x) = Q(x) · D(x) + J(x), missä J:n aste on pienempi kuin D:n aste
Esimerkki
Jaa polynomi P(x) = 2x³ − 3x² + 4x − 5 polynomilla x − 1.
- 2x³ : x = 2x². Vähennä 2x²(x − 1) = 2x³ − 2x², jolloin jää −x² + 4x − 5.
- −x² : x = −x. Vähennä −x(x − 1) = −x² + x, jolloin jää 3x − 5.
- 3x : x = 3. Vähennä 3(x − 1) = 3x − 3, jolloin jää −2.
- Jakoyhtälö: 2x³ − 3x² + 4x − 5 = (x − 1)(2x² − x + 3) − 2.
Tyypillinen virhe
Vähennyslaskussa merkki vaihdetaan vain ensimmäiseltä termiltä. Kun vähennetään 2x³ − 2x², molempien termien merkki vaihtuu, joten −3x² − (−2x²) = −x². Toinen virhe on jättää puuttuvat asteet pois, jolloin termit siirtyvät vääriin sarakkeisiin.
Valintakokeessa A
Polynomit kuuluvat pitkän matematiikan sisältöihin, joihin valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Jakolaskua tarvitaan korkeamman asteen yhtälöissä, kun yksi juuri on löydetty ja loput etsitään osamäärästä.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 23: Polynomit: jakoyhtälö, tekijöihinjako ja korkeamman asteen yhtälöt. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mikä on jakoyhtälö?
Jakoyhtälö kirjoittaa jakolaskun tuloksen muotoon P(x) = Q(x)D(x) + J(x), jossa P on jaettava, D jakaja, Q osamäärä ja J jakojäännös. Se vastaa lukujen jakoyhtälöä, esimerkiksi 17 = 3 · 5 + 2. Jakojäännöksen aste on aina pienempi kuin jakajan.
Mitä synteettinen jakolasku tarkoittaa?
Synteettinen jakolasku on lyhyt tapa jakaa polynomi ensimmäisen asteen polynomilla x − a. Siinä käsitellään pelkkiä kertoimia yhdellä rivillä ilman muuttujia. Tulos on sama kuin jakokulmassa, mutta kirjoittamista on vähemmän. Menetelmä toimii vain jakajalla muotoa x − a.