Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten toisen asteen yhtälö ratkaistaan?
Toisen asteen yhtälö ax² + bx + c = 0, jossa a ≠ 0, ratkaistaan ratkaisukaavalla x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Ensin kaikki termit siirretään samalle puolelle niin, että toinen puoli on nolla. Vajaat yhtälöt, joista puuttuu b tai c, ratkeavat nopeammin tekijöihin jakamalla tai neliöjuurella.
Ratkaisukaava saadaan täydentämällä yhtälön vasen puoli neliöksi, joten se toimii jokaiselle toisen asteen yhtälölle. Neliöjuuren alla oleva lauseke b² − 4ac on diskriminantti. Jos se on negatiivinen, yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja.
Jos c = 0, yhtälö on muotoa ax² + bx = 0. Silloin x otetaan yhteiseksi tekijäksi, x(ax + b) = 0, ja tulon nollasäännön mukaan x = 0 tai x = −b/a. Jos b = 0, yhtälö on muotoa ax² + c = 0, ja x² = −c/a ratkaistaan neliöjuurella, jolloin mukaan tulevat molemmat merkit.
Kun a = 1 ja juuret ovat pieniä kokonaislukuja, juuret voi päätellä myös tekijöihin jakamalla. Yhtälö x² − 5x + 6 = 0 on (x − 2)(x − 3) = 0, joten x = 2 tai x = 3.
Kaava
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ⇒ x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Esimerkki
Ratkaise yhtälö 2x² − 3x − 2 = 0.
- Kertoimet ovat a = 2, b = −3 ja c = −2.
- Diskriminantti: b² − 4ac = 9 + 16 = 25, joten √25 = 5.
- Ratkaisukaava: x = (3 ± 5) / 4.
- x = 8/4 = 2 tai x = −2/4 = −1/2.
Tyypillinen virhe
Vajaassa yhtälössä jaetaan puolittain muuttujalla. Jos yhtälö 3x² = 6x jaetaan x:llä, saadaan vain x = 2 ja ratkaisu x = 0 katoaa. Oikein: 3x² − 6x = 0 eli 3x(x − 2) = 0, joten x = 0 tai x = 2.
Valintakokeessa A
Toisen asteen yhtälö on valintakokeen A matematiikan perustaito, ja sama ratkaisukaava tulee vastaan fysiikan ja kemian laskuissa, esimerkiksi liikeyhtälöissä ja tasapainolaskuissa. Koejärjestelmässä oli vuonna 2026 funktiolaskin.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 2: Yhtälöt ja epäyhtälöt. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä ± tarkoittaa ratkaisukaavassa?
Merkki ± tarkoittaa, että kaavasta lasketaan kaksi arvoa: toinen lisäämällä neliöjuuri ja toinen vähentämällä se. Näin saadaan yhtälön kaksi juurta. Jos neliöjuuri on nolla, arvot ovat samat, ja yhtälöllä on yksi kaksinkertainen juuri.
Voiko toisen asteen yhtälöllä olla kolme ratkaisua?
Ei voi. Toisen asteen yhtälöllä on enintään kaksi reaalista ratkaisua, koska paraabeli leikkaa x-akselin enintään kahdessa kohdassa. Ratkaisuja voi olla myös yksi tai ei yhtään, ja niiden määrän kertoo diskriminantti.