Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on diskriminantti?
Diskriminantti on toisen asteen yhtälön ax² + bx + c = 0 ratkaisukaavan neliöjuuren alla oleva lauseke D = b² − 4ac. Se kertoo ratkaisujen määrän laskematta niitä: jos D > 0, reaalisia ratkaisuja on kaksi, jos D = 0, niitä on yksi, ja jos D < 0, niitä ei ole.
Syy näkyy ratkaisukaavasta x = (−b ± √D) / (2a). Positiivisesta luvusta saadaan neliöjuuri, ja ± tuottaa kaksi eri arvoa. Nollan neliöjuuri on nolla, joten molemmat arvot ovat samat. Negatiivisella luvulla ei ole reaalista neliöjuurta.
Kuvaajana diskriminantti kertoo, miten paraabeli y = ax² + bx + c kohtaa x-akselin. Kun D > 0, paraabeli leikkaa akselin kahdessa kohdassa. Kun D = 0, paraabelin huippu on akselilla. Kun D < 0, paraabeli ei kohtaa akselia lainkaan.
Diskriminanttia käytetään erityisesti parametritehtävissä, joissa kysytään, millä vakion arvolla yhtälöllä on tietty määrä ratkaisuja. Silloin diskriminantille asetetaan ehto. Jos myös x²:n kerroin sisältää parametrin, tapaus, jossa kerroin on nolla, tarkistetaan erikseen, koska silloin yhtälö ei ole toista astetta.
Kaava
D = b² − 4ac
D > 0: kaksi ratkaisua
D = 0: yksi ratkaisu
D < 0: ei reaalisia ratkaisuja
Esimerkki
Millä vakion k arvoilla yhtälöllä x² + 6x + k = 0 on kaksi eri reaalista ratkaisua?
- Kertoimet ovat a = 1, b = 6 ja c = k.
- D = 6² − 4 · 1 · k = 36 − 4k.
- Kahden ratkaisun ehto on D > 0 eli 36 − 4k > 0.
- 4k < 36, joten k < 9. Arvolla k = 9 ratkaisuja on yksi.
Tyypillinen virhe
Etumerkki katoaa, kun b on negatiivinen. Jos b = −4, niin b² = (−4)² = 16 eikä −16. Toinen virhe on laskea diskriminantti ennen kuin yhtälö on muodossa ax² + bx + c = 0, jolloin kertoimet luetaan väärin.
Valintakokeessa A
Valintakokeen A matematiikan tehtävissä diskriminantti on nopea tapa päätellä ratkaisujen määrä ja ratkaista parametritehtäviä. Sama päättely tarvitaan analyyttisessä geometriassa, kun selvitetään, leikkaako suora ympyrän tai paraabelin.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 2: Yhtälöt ja epäyhtälöt. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä tarkoittaa, että diskriminantti on nolla?
Silloin yhtälöllä on yksi reaalinen ratkaisu x = −b/(2a), jota kutsutaan kaksinkertaiseksi juureksi. Paraabeli sivuaa x-akselia huippunsa kohdalla. Esimerkiksi yhtälön x² − 6x + 9 = 0 diskriminantti on 36 − 36 = 0 ja ratkaisu x = 3.
Kertooko diskriminantti ratkaisujen arvot?
Ei kerro. Diskriminantti kertoo vain, montako reaalista ratkaisua on. Arvot lasketaan ratkaisukaavalla tai tekijöihin jakamalla. Kun kertoimet ovat kokonaislukuja ja diskriminantti on jonkin kokonaisluvun neliö, ratkaisut ovat rationaalilukuja, kuten yhtälössä x² − 5x + 6 = 0, jonka diskriminantti on 1.