Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten paraabelin huippu lasketaan?
Paraabelin y = ax² + bx + c huipun x-koordinaatti on x = −b/(2a), ja y-koordinaatti saadaan sijoittamalla tämä x funktion lausekkeeseen. Jos a > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin ja huippu on funktion pienin arvo. Jos a < 0, paraabeli aukeaa alaspäin ja huippu on funktion suurin arvo.
Kaava johtuu symmetriasta. Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan pystysuoran suoran suhteen, joten huippu on nollakohtien puolivälissä. Ratkaisukaavan mukaan nollakohdat ovat −b/(2a) ± √D/(2a), ja niiden keskiarvo on −b/(2a).
Toinen tapa on huippumuoto y = a(x − h)² + k, josta huippu (h, k) luetaan suoraan. Huippumuotoon päästään täydentämällä neliöksi: x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4, joten huippu on (3, −4).
Huippu on olemassa, vaikka paraabelilla ei olisi nollakohtia. Kaava x = −b/(2a) ei tarvitse nollakohtia, joten se toimii aina. Huipun y-koordinaatti lasketaan aina sijoittamalla.
Kaava
x = −b / (2a)
y = f(−b / (2a))
huippumuoto y = a(x − h)² + k, huippu (h, k)
Esimerkki
Määritä funktion f(x) = −2x² + 8x − 3 huippu ja suurin arvo.
- a = −2 ja b = 8, joten x = −8 / (2 · (−2)) = 2.
- f(2) = −2 · 4 + 16 − 3 = 5.
- Koska a < 0, paraabeli aukeaa alaspäin ja huippu on suurin arvo.
- Huippu on (2, 5), ja funktion suurin arvo on 5.
Tyypillinen virhe
Huippumuodon merkki luetaan väärin. Lausekkeessa (x + 3)² − 1 huipun x-koordinaatti on −3 eikä 3, koska x + 3 = x − (−3).
Valintakokeessa A
Valintakokeen A tehtävissä huippu tarvitaan, kun kysytään toisen asteen funktion suurinta tai pienintä arvoa tai optimoidaan toisen asteen mallia ilman derivaattaa. Pitkän matematiikan keinoin sama tulos saadaan derivaatan nollakohdasta.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 4: Funktiot ja niiden kuvaajat. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Onko huippu aina funktion suurin tai pienin arvo?
Koko reaalilukujen joukossa on. Ylöspäin aukeavan paraabelin huippu on pienin arvo ja alaspäin aukeavan suurin arvo. Jos tarkastelu rajataan välille, jolla huippu ei ole, suurin ja pienin arvo löytyvät välin päätepisteistä.
Miten huippu löytyy nollakohdista?
Huipun x-koordinaatti on nollakohtien keskiarvo, koska paraabeli on symmetrinen. Jos nollakohdat ovat −1 ja 5, huippu on kohdassa x = 2. Huipun y-koordinaatti lasketaan sijoittamalla x = 2 funktion lausekkeeseen.