Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten funktion suurin ja pienin arvo lasketaan suljetulla välillä?
Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio saa aina suurimman ja pienimmän arvonsa. Ne löytyvät derivaatan nollakohdista välin sisällä, kohdista, joissa derivaattaa ei ole, tai välin päätepisteistä. Funktion arvot lasketaan kaikissa näissä kohdissa, ja niistä valitaan suurin ja pienin. Merkkikaaviota ei tarvita, kun kysytään vain suurinta ja pienintä arvoa.
Jos ääriarvo on välin sisällä ja funktio on siinä derivoituva, tangentti on vaakasuora ja derivaatta nolla. Välin päätepisteissä tätä ehtoa ei ole, koska funktiota tarkastellaan vain toiselta puolelta. Siksi päätepisteet lasketaan aina mukaan.
Paikallinen ääriarvo ja suurin arvo ovat eri asioita. Funktiolla voi olla paikallinen maksimi välin sisällä, mutta sitä suurempi arvo välin päätepisteessä.
Pelkkä derivaatan nollakohta ei takaa ääriarvoa. Funktion x³ derivaatta on nolla kohdassa x = 0, mutta funktio kasvaa sen molemmin puolin. Suljetun välin menetelmässä tämä ei haittaa, koska kaikkien ehdokkaiden arvoja verrataan keskenään.
Kaava
Ehdokkaat: f′(x) = 0 välin sisällä, kohdat joissa f′ ei ole määritelty, päätepisteet a ja b
suurin ja pienin arvo valitaan ehdokkaiden funktion arvoista
Esimerkki
Määritä funktion f(x) = x³ − 3x² + 1 suurin ja pienin arvo välillä [−1, 3].
- f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), joten nollakohdat ovat x = 0 ja x = 2. Molemmat ovat välillä.
- Arvot: f(−1) = −1 − 3 + 1 = −3, f(0) = 1, f(2) = 8 − 12 + 1 = −3 ja f(3) = 27 − 27 + 1 = 1.
- Suurin arvo on 1, ja se saavutetaan kohdissa x = 0 ja x = 3.
- Pienin arvo on −3, ja se saavutetaan kohdissa x = −1 ja x = 2.
Tyypillinen virhe
Välin päätepisteet jäävät laskematta. Silloin vastaukseksi voi tulla paikallinen ääriarvo, vaikka funktio saa välin päätepisteessä suuremman tai pienemmän arvon.
Valintakokeessa A
Ääriarvot ja optimointi kuuluvat pitkän matematiikan derivaattaan, johon valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Sanallisessa optimointitehtävässä muuttujan sallittu väli määrää päätepisteet, jotka on tutkittava.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 27: Derivaatan sovellukset: kulku, ääriarvot ja optimointi. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä eroa on paikallisella ja globaalilla ääriarvolla?
Paikallinen ääriarvo on suurin tai pienin arvo jonkin pisteen ympäristössä. Globaali ääriarvo on suurin tai pienin arvo koko tarkasteluvälillä. Globaali ääriarvo on joko paikallinen ääriarvo tai välin päätepisteen arvo, joten molemmat on laskettava.
Onko funktiolla avoimella välillä aina suurin arvo?
Ei aina. Esimerkiksi funktio f(x) = x ei saa suurinta arvoa avoimella välillä 0 < x < 1, koska se lähestyy lukua 1 mutta ei saavuta sitä. Avoimella välillä ääriarvon olemassaolo on perusteltava erikseen, esimerkiksi kulkukaaviolla.