Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on käännepiste?
Käännepiste on kuvaajan kohta, jossa kuperuuden suunta vaihtuu: ylöspäin kaartuvasta tulee alaspäin kaartuva tai päinvastoin. Kuperuutta tutkitaan toisella derivaatalla f″. Käännepisteessä toinen derivaatta vaihtaa merkkiä, ja jos f″ on siinä määritelty, sen arvo on nolla. Käännepisteessä ensimmäinen derivaatta saa paikallisen ääriarvonsa.
Kun f″(x) > 0, derivaatta kasvaa ja kuvaaja kaartuu ylöspäin kuin kuppi. Kun f″(x) < 0, derivaatta pienenee ja kuvaaja kaartuu alaspäin. Käännepisteessä kaarevuuden suunta vaihtuu.
Pelkkä f″(a) = 0 ei riitä käännepisteeseen. Funktion x⁴ toinen derivaatta on nolla kohdassa 0, mutta kuvaaja kaartuu ylöspäin molemmin puolin, joten käännepistettä ei ole. Merkin vaihtuminen on tarkistettava.
Toisella derivaatalla voi myös tutkia ääriarvon laatua. Jos f′(a) = 0 ja f″(a) > 0, kohdassa a on paikallinen minimi. Jos f″(a) < 0, kohdassa on paikallinen maksimi. Jos f″(a) = 0, testi ei ratkaise asiaa.
Kaava
f″ > 0: kuvaaja kaartuu ylöspäin
f″ < 0: kuvaaja kaartuu alaspäin
käännepiste: f″ vaihtaa merkkiä
f′(a) = 0 ja f″(a) > 0 ⇒ paikallinen minimi
Esimerkki
Määritä funktion f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 käännepiste.
- f′(x) = 3x² − 12x + 9 ja f″(x) = 6x − 12.
- f″(x) = 0, kun x = 2. Kun x < 2, f″(x) < 0, ja kun x > 2, f″(x) > 0, joten merkki vaihtuu.
- f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3.
- Käännepiste on (2, 3).
Tyypillinen virhe
Käännepisteeksi hyväksytään jokainen toisen derivaatan nollakohta tarkistamatta merkin vaihtumista. Toinen virhe on sekoittaa käännepiste ja ääriarvo: käännepisteessä ensimmäinen derivaatta ei yleensä ole nolla.
Valintakokeessa A
Toinen derivaatta ja kuperuus kuuluvat pitkän matematiikan derivaattaan, johon valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Fysiikassa paikan toinen derivaatta on kiihtyvyys.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 27: Derivaatan sovellukset: kulku, ääriarvot ja optimointi. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä toinen derivaatta kertoo?
Toinen derivaatta kertoo, miten ensimmäinen derivaatta muuttuu eli miten kuvaajan jyrkkyys muuttuu. Positiivinen toinen derivaatta tarkoittaa kasvavaa kulmakerrointa ja ylöspäin kaartuvaa kuvaajaa. Liikkeessä paikan toinen derivaatta on kiihtyvyys, joten se kertoo, miten nopeus muuttuu.
Voiko käännepisteessä olla vaakasuora tangentti?
Voi. Funktiolla x³ on kohdassa x = 0 sekä vaakasuora tangentti että käännepiste, koska derivaatta 3x² on siinä nolla ja toinen derivaatta 6x vaihtaa merkkiä. Tällaista kohtaa kutsutaan terassipisteeksi, eikä siinä ole ääriarvoa.