Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on ketjusääntö?
Ketjusääntö on derivointisääntö yhdistetylle funktiolle f(g(x)), jossa funktion sisällä on toinen funktio. Derivaatta on ulkofunktion derivaatta sisäfunktion kohdalla kerrottuna sisäfunktion derivaatalla: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x). Esimerkiksi (3x + 1)⁴ derivoituu muotoon 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³.
Yhdistetyssä funktiossa muutos välittyy kahden vaiheen kautta. Kun x muuttuu, sisäfunktio muuttuu nopeudella g′(x), ja ulkofunktio reagoi tähän nopeudella f′(g(x)). Nopeudet kerrotaan keskenään samaan tapaan kuin kaksi peräkkäistä vaihtokurssia.
Säännön käyttö alkaa rakenteen tunnistamisesta. Lausekkeessa sin(2x) ulkofunktio on sini ja sisäfunktio 2x. Lausekkeessa e^(x²) ulkofunktio on eksponenttifunktio ja sisäfunktio x². Lausekkeessa √(1 + x²) ulkofunktio on neliöjuuri ja sisäfunktio 1 + x².
Ketjusääntö tarvitaan aina, kun sisäfunktio on muu kuin pelkkä x. Jos sisäfunktio on x, sen derivaatta on 1, eikä kerroin muuta mitään.
Kaava
(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
esimerkiksi (sin kx)′ = k cos kx ja (e^(kx))′ = k e^(kx)
Esimerkki
Derivoi funktio f(x) = √(x² + 9) ja laske f′(4).
- Kirjoita potenssina: f(x) = (x² + 9)^(1/2).
- Ulkofunktion derivaatta on ½(x² + 9)^(−1/2) ja sisäfunktion derivaatta 2x.
- f′(x) = 2x / (2√(x² + 9)) = x / √(x² + 9).
- f′(4) = 4 / √25 = 4/5 = 0,8.
Tyypillinen virhe
Sisäfunktion derivaatta unohtuu: (sin 3x)′ ei ole cos 3x vaan 3 cos 3x. Toinen virhe on muuttaa sisäfunktiota ulkofunktion derivaatassa. Sisäfunktio jää ulkofunktion derivaattaan sellaisenaan.
Valintakokeessa A
Ketjusääntö kuuluu pitkän matematiikan derivointisääntöihin, joita valintakokeen A matematiikan syventävän osion tehtävissä voidaan tarvita esimerkiksi ääriarvo-, tangentti- ja optimointitehtävissä.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 8: Derivaatta. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miten tunnistaa, tarvitaanko ketjusääntöä?
Kysy, onko funktion sisällä jokin muu lauseke kuin pelkkä x. Lausekkeissa (2x − 5)³, ln(x² + 1) ja cos(πx) sisällä on lauseke, joten ketjusääntö tarvitaan. Lausekkeissa x³, ln x ja cos x sisäfunktio on x, eikä ketjusääntöä tarvita.
Mitä eroa on ketjusäännöllä ja tulosäännöllä?
Tulosääntö koskee kahden funktion tuloa f(x) · g(x), esimerkiksi x² sin x, ja sen derivaatta on f′g + fg′. Ketjusääntö koskee sisäkkäisiä funktioita f(g(x)), esimerkiksi sin(x²). Samassa lausekkeessa voidaan tarvita molempia.