Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on integraalifunktio?
Funktion f integraalifunktio on funktio F, jonka derivaatta on f, eli F′(x) = f(x). Integraalifunktioita on äärettömän monta, koska vakion derivaatta on nolla: jos F on integraalifunktio, niin on myös F + C. Esimerkiksi funktion 2x integraalifunktiot ovat x² + C, missä C on mikä tahansa vakio.
Integrointi on derivoinnin käänteinen toimitus. Potenssille xⁿ eksponenttia kasvatetaan yhdellä ja jaetaan uudella eksponentilla: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C. Sääntö ei toimi, kun n = −1, ja silloin ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
Vakio C määräytyy, jos tunnetaan yksi funktion arvo. Jos F′(x) = 6x ja F(1) = 5, niin F(x) = 3x² + C ja 3 + C = 5, joten C = 2. Tällaista tehtävää kutsutaan alkuarvotehtäväksi.
Jokaisen integroinnin voi tarkistaa derivoimalla. Jos tulos derivoituu takaisin alkuperäiseksi funktioksi, se on oikein. Summa integroidaan termi kerrallaan, mutta tulon integraali ei ole integraalien tulo.
Kaava
F′(x) = f(x)
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1)
∫(1/x) dx = ln|x| + C
∫eˣ dx = eˣ + C
∫sin x dx = −cos x + C
∫cos x dx = sin x + C
Esimerkki
Määritä funktion f(x) = 6x² − 4x + 1 se integraalifunktio F, jolle F(0) = 3.
- Integroi termeittäin: F(x) = 6 · x³/3 − 4 · x²/2 + x + C = 2x³ − 2x² + x + C.
- Ehto F(0) = 3 antaa C = 3.
- F(x) = 2x³ − 2x² + x + 3.
- Tarkistus derivoimalla: F′(x) = 6x² − 4x + 1.
Tyypillinen virhe
Sinin integraalin etumerkki menee väärin. ∫sin x dx = −cos x + C, koska (−cos x)′ = sin x. Miinus tulee integroinnissa sinille ja derivoinnissa kosinille.
Valintakokeessa A
Integraalilaskenta kuuluu pitkän matematiikan sisältöihin, joihin valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Fysiikassa integraalifunktio tarvitaan, kun nopeudesta lasketaan paikka tai kiihtyvyydestä nopeus.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 9: Integraalilaskenta. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miksi integraalifunktioon lisätään C?
Koska vakion derivaatta on nolla, funktioilla x² + 1, x² ja x² − 7 on sama derivaatta 2x. Pelkästä derivaatasta ei voi päätellä, mikä vakio alkuperäisessä funktiossa oli. Merkintä + C kattaa kaikki vaihtoehdot, ja lisätieto kuten F(0) kiinnittää yhden niistä.
Mitä eroa on integraalifunktiolla ja määrätyllä integraalilla?
Integraalifunktio on funktio, esimerkiksi x³/3 + C. Määrätty integraali on luku, joka lasketaan integraalifunktion arvoista välin päätepisteissä: ∫₀³ x² dx = 27/3 − 0 = 9. Määrätyssä integraalissa vakio C kumoutuu erotuksessa.