Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten määrätty integraali lasketaan?
Määrätty integraali ∫ₐᵇ f(x) dx lasketaan etsimällä funktion f integraalifunktio F ja laskemalla erotus F(b) − F(a). Tulos on luku. Jos f on välillä positiivinen, integraali on kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala. Yleisesti se on funktion f kertymä välillä a:sta b:hen.
Laskukaava on analyysin peruslauseen seuraus. Kertymä kasvaa jokaisessa kohdassa nopeudella f(x), joten kertymäfunktion derivaatta on f. Siksi kertymä saadaan mistä tahansa integraalifunktiosta, ja integroimisvakio kumoutuu erotuksessa.
Integraali on etumerkillinen. Kun f on negatiivinen, x-akselin alapuolinen alue tulee integraaliin miinusmerkkisenä. Esimerkiksi sinifunktion integraali väliltä 0:sta 2π:hin on nolla, vaikka kuvaajan ja akselin väliin jää alueita. Pinta-alaa laskettaessa väli jaetaan nollakohdissa.
Sovelluksissa integraali on kertymä muutosnopeudesta. Jos v(t) on nopeus, sen integraali aikavälin yli on paikan muutos. Jos r(t) on virtausnopeus litroina sekunnissa, integraali on virrannut määrä litroina.
Kaava
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), missä F′(x) = f(x)
Esimerkki
Laske ∫₁³ (3x² − 2x) dx.
- Integraalifunktio: F(x) = x³ − x².
- Yläraja: F(3) = 27 − 9 = 18.
- Alaraja: F(1) = 1 − 1 = 0.
- Integraali: 18 − 0 = 18.
Tyypillinen virhe
Integraali tulkitaan pinta-alaksi, vaikka funktio vaihtaa merkkiä. Esimerkiksi ∫₋₁¹ x dx = 0, mutta kuvaajan ja x-akselin väliin jää kaksi kolmiota, joiden yhteinen ala on 1.
Valintakokeessa A
Määrätty integraali kuuluu pitkän matematiikan sisältöihin, joihin valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Kertymän ajatus tulee vastaan myös fysiikassa, jossa nopeuden kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä ala on kappaleen siirtymä.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 9: Integraalilaskenta. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Voiko määrätty integraali olla negatiivinen?
Voi. Jos funktio on koko välillä negatiivinen, integraali on negatiivinen, ja sen itseisarvo on kuvaajan ja x-akselin välinen ala. Esimerkiksi ∫₀¹ (−x) dx = −1/2. Pinta-ala sen sijaan on aina positiivinen.
Mitä tapahtuu, jos integroimisrajat vaihdetaan keskenään?
Integraalin etumerkki vaihtuu. Integraali b:stä a:han on integraalin a:sta b:hen vastaluku, koska F(a) − F(b) = −(F(b) − F(a)). Esimerkiksi ∫₃¹ (3x² − 2x) dx = −18. Rajojen järjestys on siis osa laskua eikä pelkkä merkintä.