Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten kahden käyrän välinen pinta-ala lasketaan?
Kahden käyrän välinen pinta-ala lasketaan integroimalla ylemmän ja alemman funktion erotus: A = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, kun f(x) ≥ g(x) välillä a:sta b:hen. Rajat ovat usein käyrien leikkauspisteet, jotka saadaan yhtälöstä f(x) = g(x). Jos käyrät vaihtavat järjestystä, väli jaetaan leikkauspisteessä osiin.
Menetelmässä on kolme vaihetta. Ensin ratkaistaan leikkauspisteet. Sitten selvitetään, kumpi funktio on ylempänä, sijoittamalla jokin välin luku molempiin. Lopuksi integroidaan erotus ylempi miinus alempi.
Erotus f(x) − g(x) on pystysuoran janan pituus käyrien välissä, eikä se riipu siitä, ovatko käyrät x-akselin ylä- vai alapuolella. Siksi menetelmä toimii myös, kun alue on osittain akselin alapuolella, eikä akselin kanssa rajattuja aloja tarvitse laskea erikseen.
Jos järjestys menee väärin päin, integraalista tulee oikean vastauksen vastaluku. Negatiivinen tulos on merkki siitä, että ylempi ja alempi funktio ovat vaihtaneet paikkaa.
Kaava
A = ∫ₐᵇ (ylempi − alempi) dx
rajat yhtälöstä f(x) = g(x)
Esimerkki
Laske paraabelin y = 4 − x² ja suoran y = x + 2 rajaaman alueen pinta-ala.
- Leikkauspisteet: 4 − x² = x + 2 eli x² + x − 2 = 0, josta (x + 2)(x − 1) = 0, joten x = −2 ja x = 1.
- Kohdassa x = 0 paraabeli antaa 4 ja suora 2, joten paraabeli on ylempänä.
- A = ∫₋₂¹ (2 − x − x²) dx. Integraalifunktio on F(x) = 2x − x²/2 − x³/3.
- A = F(1) − F(−2) = 7/6 − (−10/3) = 27/6 = 4,5.
Tyypillinen virhe
Ylempi ja alempi funktio päätellään kaavojen järjestyksestä tarkistamatta. Toinen virhe on laskea kummankin käyrän ja x-akselin välinen ala erikseen ja vähentää ne, mikä toimii vain, jos molemmat käyrät ovat koko välillä akselin yläpuolella.
Valintakokeessa A
Integraalin sovellukset kuuluvat pitkän matematiikan sisältöihin, joihin valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Tehtävä yhdistää yhtälön ratkaisemisen, funktioiden vertailun ja integroinnin.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 28: Integraalin sovellukset: pinta-ala, kertymä ja tilavuus. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Voiko pinta-ala olla negatiivinen?
Ei voi. Pinta-ala on aina positiivinen, mutta integraali voi olla negatiivinen. Jos integraalista tulee negatiivinen luku, ylempi ja alempi funktio ovat vaihtaneet paikkaa tai väli olisi pitänyt jakaa osiin leikkauspisteessä.
Mitä tehdään, jos käyrät leikkaavat kolmessa kohdassa?
Väli jaetaan keskimmäisessä leikkauspisteessä kahteen osaan. Kummallakin osavälillä selvitetään erikseen, kumpi funktio on ylempänä, ja lasketaan oma integraali. Pinta-ala on osien summa. Yksi integraali koko välin yli voisi kumota osat toisillaan.