Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten pyörähdyskappaleen tilavuus lasketaan?
Kun käyrä y = f(x) pyörähtää x-akselin ympäri välillä a:sta b:hen, syntyvän kappaleen tilavuus on V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx. Kaava syntyy ohuista kiekoista: kohdassa x kiekon säde on f(x), joten sen poikkileikkauksen ala on πf(x)². Tilavuus on näiden poikkileikkausten kertymä välin yli.
Kappale ajatellaan leikatuksi hyvin ohuiksi kiekoiksi, joiden paksuus on dx. Jokaisen kiekon tilavuus on likimain πf(x)² · dx, ja integraali laskee ne yhteen. Ajatus on sama kuin pinta-alassa, mutta viipaleina ovat kiekot.
Jos kahden käyrän välinen alue pyörähtää x-akselin ympäri, syntyy renkaanmuotoinen kappale. Silloin tilavuus on π ∫ (ulompi² − sisempi²) dx. Säteet korotetaan toiseen erikseen, ei niiden erotusta.
Tuloksen voi tarkistaa tunnetulla kappaleella. Suora y = rx/h pyörähtää välillä 0:sta h:hon kartioksi, ja kaava antaa tilavuudeksi πr²h/3, mikä on kartion tilavuuden kaava.
Kaava
V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx
kahden käyrän välinen alue: V = π ∫ₐᵇ (f(x)² − g(x)²) dx
Esimerkki
Käyrä y = √x pyörähtää x-akselin ympäri välillä 0:sta 4:ään. Laske syntyvän kappaleen tilavuus.
- V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx.
- Integraalifunktio on x²/2.
- V = π · (16/2 − 0) = 8π.
- Vastaus: 8π ≈ 25,1.
Tyypillinen virhe
Neliö unohtuu, jolloin lasketaan π ∫ f(x) dx. Kiekon ala on πr², joten säde f(x) korotetaan toiseen ennen integrointia. Renkaassa virhe on korottaa erotus, vaikka (f − g)² ei ole f² − g².
Valintakokeessa A
Pyörähdyskappaleet kuuluvat pitkän matematiikan integraalilaskentaan, johon valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Tuloksen suuruusluokan voi tarkistaa vertaamalla sitä lieriöön tai kartioon.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 28: Integraalin sovellukset: pinta-ala, kertymä ja tilavuus. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miksi kaavassa on π?
Pyörähtäessä jokainen käyrän piste piirtää ympyrän, jonka säde on pisteen etäisyys akselista eli f(x). Ympyrän ala on πr², joten poikkileikkauksen ala on πf(x)². Luku π on vakio, joten se voidaan kirjoittaa integraalimerkin eteen.
Miten pyörähdys y-akselin ympäri lasketaan?
Yksi tapa on ratkaista käyrän yhtälöstä x y:n funktiona ja integroida y:n suhteen: V = π ∫ x(y)² dy, jolloin rajat ovat y-arvoja. Esimerkiksi käyrän y = x² ja y-akselin välinen alue, kun 0 ≤ y ≤ 4, antaa x² = y ja tilavuudeksi π ∫₀⁴ y dy = 8π.