Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mitkä ovat muistikaavat?
Muistikaavat ovat kolme usein tarvittavaa tuloa: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² ja (a + b)(a − b) = a² − b². Niillä avataan sulkuja nopeasti. Takaperin luettuina niillä jaetaan lausekkeita tekijöihin, esimerkiksi x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Kaavat seuraavat osittelulaista. Kun (a + b)² kirjoitetaan muotoon (a + b)(a + b) ja jokainen termi kerrotaan jokaisella, saadaan a² + ab + ba + b². Keskelle tulee kaksi samaa tuloa ab, ja niistä syntyy termi 2ab. Summan ja erotuksen tulossa keskitermit ab ja −ab kumoavat toisensa, ja jäljelle jää a² − b².
Kaavassa a ja b ovat kokonaisia termejä kertoimineen. Lausekkeessa (3x − 2)² on a = 3x ja b = 2, joten tulos on 9x² − 12x + 4. Kertoimen neliöiminen unohtuu helposti.
Takaperin käytettynä muistikaava säästää aikaa. Neliöiden erotus jakautuu aina tekijöihin, mutta neliöiden summa a² + b² ei jakaudu reaalikertoimisiin tekijöihin. Siksi x² − 16 = (x − 4)(x + 4), mutta x² + 16 jää sellaisekseen.
Kaava
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Esimerkki
Sievennä lauseke (x + 5)² − (x + 5)(x − 5).
- Binomin neliö: (x + 5)² = x² + 10x + 25.
- Summan ja erotuksen tulo: (x + 5)(x − 5) = x² − 25.
- Vähennä sulkeineen: x² + 10x + 25 − (x² − 25) = x² + 10x + 25 − x² + 25.
- Vastaus: 10x + 50. Tarkistus luvulla x = 1: 36 − 6 · (−4) = 60 ja 10 + 50 = 60.
Tyypillinen virhe
Keskitermi unohtuu: (x + 3)² ei ole x² + 9 vaan x² + 6x + 9. Virheen huomaa sijoittamalla vaikkapa x = 1, jolloin vasen puoli on 16 mutta x² + 9 antaisi 10.
Valintakokeessa A
Valintakokeen A matematiikan tehtävissä muistikaava on yleensä työkalu eikä itse kysymys: sillä sievennetään rationaalilausekkeita, ratkaistaan yhtälöitä tulon nollasäännöllä ja täydennetään lauseke neliöksi.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 1: Luvut, lausekkeet, potenssit ja juuret. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mikä on binomin neliö?
Binomi on kahden termin summa tai erotus, kuten x + 3. Binomin neliö on sen toinen potenssi, esimerkiksi (x + 3)² = x² + 6x + 9. Tulos on aina kolmitermi: ensimmäisen termin neliö, termien kaksinkertainen tulo ja toisen termin neliö.
Miten x² − 25 jaetaan tekijöihin?
Lauseke on neliöiden erotus, koska sekä x² että 25 = 5² ovat neliöitä. Kaava a² − b² = (a − b)(a + b) antaa x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Tuloksen voi tarkistaa kertomalla sulut auki.