Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mitkä ovat potenssien laskusäännöt?
Saman kantaluvun potensseja kerrottaessa eksponentit lasketaan yhteen ja jaettaessa ne vähennetään. Potenssin potenssissa eksponentit kerrotaan, ja tulon potenssi korottaa jokaisen tekijän. Nollas potenssi on 1, kun kantaluku ei ole nolla, ja negatiivinen eksponentti tarkoittaa käänteislukua: esimerkiksi 2⁻³ = 1/8 eikä −8.
Potenssi aⁿ tarkoittaa, että kantaluku a kerrotaan itsellään n kertaa. Säännöt seuraavat tästä suoraan. Kun a³ · a² kirjoitetaan auki, tekijöitä on 3 + 2 = 5, joten tulos on a⁵. Kun (a³)² kirjoitetaan auki, siinä on kaksi kolmen tekijän ryhmää eli kuusi tekijää, joten tulos on a⁶.
Nollas potenssi ja negatiivinen eksponentti on määritelty niin, että jakosääntö pysyy voimassa. Lauseke a² / a⁵ on jakosäännön mukaan a⁻³, ja auki kirjoitettuna se on 1/a³. Siksi a⁻³ = 1/a³. Ehto a ≠ 0 tarvitaan, koska nollalla ei voi jakaa.
Säännöt koskevat tuloa ja osamäärää, eivät summaa: (a + b)² ei ole a² + b², vaan se avataan muistikaavalla. Sääntöjä kannattaa käyttää myös takaperin. Esimerkiksi 2⁵ · 5⁵ = (2 · 5)⁵ = 10⁵, mikä ratkeaa ilman laskinta.
Kaava
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
a⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0)
Esimerkki
Sievennä lauseke (2x³)² · x⁻⁴, kun x ≠ 0.
- Tulon potenssi korottaa myös kertoimen: (2x³)² = 2² · x⁶ = 4x⁶.
- Saman kantaluvun tulo: 4x⁶ · x⁻⁴ = 4x⁶⁻⁴ = 4x².
- Tarkistus luvulla x = 2: (2 · 8)² · 2⁻⁴ = 256/16 = 16 ja 4 · 2² = 16.
- Vastaus: 4x².
Tyypillinen virhe
Negatiivinen eksponentti tulkitaan negatiiviseksi luvuksi, vaikka 2⁻³ = 1/8. Toinen tavallinen virhe on jättää kerroin korottamatta: (2x³)² on 4x⁶, ei 2x⁶.
Valintakokeessa A
Potenssisääntöjä tarvitaan valintakokeessa A ennen kaikkea välivaiheina: yhtälöissä, derivoinnissa ja fysiikan ja kemian kymmenpotensseissa. Virhe potenssissa kaataa tehtävän, vaikka varsinainen menetelmä olisi oikein.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 1: Luvut, lausekkeet, potenssit ja juuret. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miksi a⁰ on 1?
Jakosäännön mukaan aⁿ / aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Toisaalta luku jaettuna itsellään on 1. Jotta sääntö pätisi myös tässä tapauksessa, määritellään a⁰ = 1, kun a ≠ 0. Lauseketta 0⁰ ei tällä perusteella määritellä.
Onko (−2)⁴ sama kuin −2⁴?
Ei ole. (−2)⁴ = 16, koska sulkeissa oleva negatiivinen luku kerrotaan itsellään neljä kertaa. Lausekkeessa −2⁴ potenssi lasketaan ensin ja miinus vasta sen jälkeen, joten −2⁴ = −16. Sulut ratkaisevat, koskeeko eksponentti myös etumerkkiä.