Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mitkä ovat logaritmin laskusäännöt?
Tulon logaritmi on logaritmien summa, log(xy) = log x + log y, ja osamäärän logaritmi on logaritmien erotus, log(x/y) = log x − log y. Potenssin logaritmissa eksponentti siirtyy kertoimeksi: log(xⁿ) = n · log x. Kantaluvun voi vaihtaa kaavalla logₐ x = log x / log a. Säännöt pätevät kaikilla sallituilla kantaluvuilla.
Säännöt seuraavat potenssien laskusäännöistä. Koska aᵘ · aᵛ = aᵘ⁺ᵛ, kertolasku muuttuu logaritmeissa yhteenlaskuksi. Samalla tavalla jakolasku muuttuu vähennyslaskuksi ja potenssiin korottaminen kertolaskuksi.
Potenssisääntö on eksponenttiyhtälöiden ratkaisun perusta. Kun yhtälöstä 1,05ˣ = 2 otetaan logaritmi puolittain, saadaan x · lg 1,05 = lg 2, ja tuntematon on tavallinen kerroin.
Säännöt toimivat vain, kun jokainen logaritmi on määritelty. Lauseke lg x + lg(x − 3) edellyttää, että x > 3. Jos logaritmit yhdistetään muotoon lg(x(x − 3)), ehto luetaan silti alkuperäisestä lausekkeesta.
Kaava
log(xy) = log x + log y
log(x/y) = log x − log y
log(xⁿ) = n · log x
logₐ x = log x / log a
Esimerkki
Kuinka monessa vuodessa 5 prosentin vuosikorko kaksinkertaistaa talletuksen?
- Kaksinkertaistuminen: 1,05ˣ = 2.
- Otetaan logaritmi puolittain: x · lg 1,05 = lg 2.
- x = lg 2 / lg 1,05 ≈ 0,30103 / 0,02119 ≈ 14,2.
- Talletus kaksinkertaistuu 15. vuoden aikana: 14 vuoden jälkeen kerroin on noin 1,98 ja 15 vuoden jälkeen noin 2,08.
Tyypillinen virhe
Summan logaritmi puretaan väärin: lg(x + 10) ei ole lg x + 1. Toinen virhe on sekoittaa lg(x²) ja (lg x)². Ensimmäinen on 2 lg x, jälkimmäinen logaritmin neliö.
Valintakokeessa A
Logaritmin laskusääntöjä tarvitaan valintakokeen A pitkän matematiikan tehtävissä eksponentti- ja logaritmiyhtälöissä sekä fysiikan ja kemian malleissa, joissa aika tai muu tuntematon on eksponentissa.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 7: Eksponentti- ja logaritmifunktiot. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miten kantaluvun vaihto tehdään?
Kaava on logₐ x = lg x / lg a tai yhtä hyvin ln x / ln a. Esimerkiksi log₃ 20 = lg 20 / lg 3 ≈ 1,301 / 0,477 ≈ 2,73. Tuloksen voi tarkistaa: 3² = 9 ja 3³ = 27, joten vastauksen täytyy olla kahden ja kolmen välissä.
Onko lg(2x) sama kuin 2 lg x?
Ei ole. Tulon sääntö antaa lg(2x) = lg 2 + lg x. Lauseke 2 lg x on potenssisäännön mukaan lg(x²). Esimerkiksi x = 10 antaa lg 20 ≈ 1,30, mutta 2 lg 10 = 2.