Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on logaritmi?
Logaritmi vastaa kysymykseen, mihin potenssiin kantaluku on korotettava, jotta saadaan annettu luku. Merkintä logₐ x = y tarkoittaa samaa kuin aʸ = x. Esimerkiksi log₂ 8 = 3, koska 2³ = 8. Kymmenkantaista logaritmia merkitään lg ja luonnollista logaritmia, jonka kantaluku on e ≈ 2,718, merkitään ln.
Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Kantaluvun a on oltava positiivinen ja eri kuin 1, ja logaritmoitavan luvun on oltava positiivinen. Siksi lausekkeilla lg 0 ja lg(−2) ei ole reaalista arvoa.
Logaritmin arvo voi olla negatiivinen: se tarkoittaa, että luku on pienempi kuin 1, kun kantaluku on suurempi kuin 1. Esimerkiksi lg 0,01 = −2, koska 10⁻² = 0,01. Lisäksi logₐ 1 = 0 ja logₐ a = 1 kaikilla sallituilla kantaluvuilla.
Logaritmia tarvitaan, kun tuntematon on eksponentissa. Yhtälö 2ˣ = 20 ratkeaa ottamalla logaritmi puolittain, jolloin eksponentti siirtyy kertoimeksi. Samaa ajatusta käytetään kasvu- ja puoliintumismalleissa, pH-asteikossa ja desibeleissä.
Kaava
logₐ x = y ⇔ aʸ = x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)
lg x = log₁₀ x
ln x = logₑ x
Esimerkki
Ratkaise yhtälö 3 · 2ˣ = 48.
- Jaa kolmella: 2ˣ = 16.
- Kirjoita 16 kakkosen potenssina: 16 = 2⁴.
- Saman kantaluvun potenssit ovat yhtä suuret täsmälleen silloin, kun eksponentit ovat samat, joten x = 4.
- Sama tulos logaritmilla: x = log₂ 16 = lg 16 / lg 2 = 4.
Tyypillinen virhe
Logaritmi yritetään jakaa summan yli. Lauseke lg(x + y) ei ole lg x + lg y. Laskusääntö koskee tuloa: lg(xy) = lg x + lg y.
Valintakokeessa A
Kurssissa logaritmi kuuluu pitkän matematiikan osaan, joka valmistaa valintakokeen A matematiikan syventävään osioon. Logaritmia tarvitaan myös fysiikan ja kemian tehtävissä, esimerkiksi pH:n, desibelien ja puoliintumisen laskuissa.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 7: Eksponentti- ja logaritmifunktiot. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä eroa on lg:llä ja ln:llä?
Ero on kantaluvussa. lg on kymmenkantainen logaritmi, jolloin lg 1000 = 3. ln on luonnollinen logaritmi, jonka kantaluku on Neperin luku e ≈ 2,718, jolloin ln e = 1. Laskusäännöt ovat molemmille samat, ja kantaa voi vaihtaa kaavalla logₐ x = ln x / ln a.
Miksi negatiivisen luvun logaritmia ei ole?
Positiivisen kantaluvun potenssi on aina positiivinen luku. Mikään eksponentti y ei siis anna tulosta aʸ = −2 tai aʸ = 0. Siksi logaritmi määritellään vain positiivisille luvuille, ja logaritmiyhtälössä tämä ehto kirjoitetaan ennen ratkaisua.