Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on geometrinen jono ja miten sen summa lasketaan?
Geometrinen jono on lukujono, jossa jokainen jäsen saadaan kertomalla edellinen samalla luvulla q, esimerkiksi 3, 6, 12, 24. Jonon n:s jäsen on aₙ = a₁qⁿ⁻¹, ja ensimmäisten n jäsenen summa on Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1), kun q ≠ 1. Jos |q| < 1, äärettömän summan arvo on a₁/(1 − q).
Suhdeluku q lasketaan jakamalla jäsen edellisellä: q = aₙ₊₁ / aₙ. Jos q > 1 ja jäsenet ovat positiivisia, jono kasvaa kiihtyvästi. Jos 0 < q < 1, jono pienenee kohti nollaa. Negatiivinen q vaihtaa jäsenten merkkiä vuorotellen.
Geometrinen jono kuvaa prosenttimuutosta, joka toistuu samana. Korko, joka kasvattaa pääomaa 3 prosenttia vuodessa, kertoo summan joka vuosi luvulla 1,03. Samoin radioaktiivisen aineen määrä kerrotaan jokaisen puoliintumisajan jälkeen luvulla 1/2.
Summakaava saadaan kertomalla summa luvulla q ja vähentämällä siitä alkuperäinen summa, jolloin väliin jäävät jäsenet kumoutuvat. Kun |q| < 1, termi qⁿ lähestyy nollaa n:n kasvaessa, ja siitä seuraa äärettömän summan kaava. Kun |q| ≥ 1, ääretön summa ei suppene.
Kaava
aₙ = a₁qⁿ⁻¹
Sₙ = a₁(qⁿ − 1) / (q − 1), kun q ≠ 1
S = a₁ / (1 − q), kun |q| < 1
Esimerkki
Talletat tilille 1000 euroa jokaisen vuoden alussa viiden vuoden ajan. Korko on 2 prosenttia vuodessa, ja se lisätään vuoden lopussa. Paljonko tilillä on viidennen vuoden lopussa?
- Viimeinen talletus kasvaa korkoa yhden vuoden: 1000 · 1,02. Ensimmäinen kasvaa viisi vuotta: 1000 · 1,02⁵.
- Talletukset muodostavat geometrisen summan, jossa a₁ = 1020, q = 1,02 ja n = 5.
- S₅ = 1020 · (1,02⁵ − 1) / (1,02 − 1) = 1020 · 0,10408... / 0,02.
- Vastaus: noin 5308,12 euroa.
Tyypillinen virhe
Eksponentiksi kirjoitetaan n eikä n − 1. Jonon 2, 6, 18, ... viides jäsen on 2 · 3⁴ = 162, ei 2 · 3⁵ = 486, koska ensimmäisestä jäsenestä viidenteen kerrotaan neljä kertaa.
Valintakokeessa A
Geometrinen jono tulee valintakokeen A tehtävissä vastaan toistuvina prosenttimuutoksina, korkolaskuina ja eksponentiaalisena kasvuna. Sama malli on fysiikan ja kemian puoliintumislaskujen taustalla.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 5: Lukujonot ja summat. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Milloin geometrinen sarja suppenee?
Ääretön geometrinen summa suppenee, kun suhdeluvun itseisarvo on pienempi kuin yksi, eli −1 < q < 1. Silloin summa on a₁/(1 − q). Esimerkiksi 8 + 4 + 2 + 1 + ... = 8/(1 − 0,5) = 16. Kun |q| ≥ 1, summa ei lähesty mitään lukua.
Miten geometrinen jono liittyy prosentteihin?
Kun suure muuttuu joka jaksossa saman prosentin, se kerrotaan joka kerta samalla prosenttikertoimella. Arvot muodostavat geometrisen jonon, jonka suhdeluku on prosenttikerroin. Esimerkiksi 4 prosentin kasvu antaa q = 1,04 ja 4 prosentin lasku q = 0,96.