Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on aritmeettinen jono ja miten sen summa lasketaan?
Aritmeettinen jono on lukujono, jossa peräkkäisten jäsenten erotus d on vakio, esimerkiksi 4, 7, 10, 13. Jonon n:s jäsen on aₙ = a₁ + (n − 1)d. Ensimmäisten n jäsenen summa on Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 eli jäsenten määrä kerrottuna ensimmäisen ja viimeisen jäsenen keskiarvolla.
Kerroin n − 1 tulee askelista. Ensimmäisestä jäsenestä n:nteen jäseneen on n − 1 askelta, ja jokaisella askeleella lisätään d. Siksi esimerkiksi kymmenes jäsen on a₁ + 9d.
Summakaava perustuu pareihin. Kun summa kirjoitetaan kahdesti, toinen kerta lopusta alkuun, jokainen pari antaa saman summan a₁ + aₙ. Pareja on n, ja koska summa laskettiin kahdesti, tulos jaetaan kahdella.
Aritmeettinen jono muuttuu tasaisesti, joten sen jäsenet ovat kuin lineaarisen funktion arvoja kokonaisluvuissa. Tasaisesti muuttuvat tilanteet, kuten joka kuukausi saman verran kasvava säästö, mallinnetaan aritmeettisella jonolla.
Kaava
aₙ = a₁ + (n − 1)d
Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2
Esimerkki
Aritmeettisen jonon ensimmäiset jäsenet ovat 5, 9 ja 13. Laske jonon 25 ensimmäisen jäsenen summa.
- Erotus on d = 4 ja ensimmäinen jäsen a₁ = 5.
- 25. jäsen: a₂₅ = 5 + 24 · 4 = 101.
- Summa: S₂₅ = 25 · (5 + 101) / 2 = 25 · 53.
- Vastaus: 1325.
Tyypillinen virhe
Jäsenten määrä sekoitetaan askelten määrään. Jonossa 3, 6, 9, ..., 60 on (60 − 3)/3 + 1 = 20 jäsentä, ei 19. Kun kysytään lukujen määrää, askelten määrään lisätään yksi.
Valintakokeessa A
Kurssissa lukujonot kuuluvat matematiikan perusteisiin. Valintakokeessa A jonon säännön päättely voi tulla vastaan myös loogisen päättelyn ja ongelmanratkaisun tehtävissä, joissa jonon rakenne on tunnistettava annetuista jäsenistä.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 5: Lukujonot ja summat. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä eroa on aritmeettisella ja geometrisella jonolla?
Aritmeettisessa jonossa peräkkäisten jäsenten erotus on vakio, esimerkiksi 2, 5, 8, 11, jossa lisätään aina 3. Geometrisessa jonossa peräkkäisten jäsenten suhde on vakio, esimerkiksi 2, 6, 18, 54, jossa kerrotaan aina 3:lla. Aritmeettinen jono muuttuu tasaisesti, geometrinen kertautuen.
Miten erotus d lasketaan, jos tunnetaan kaksi jäsentä?
Jäsenten erotus jaetaan järjestysnumeroiden erotuksella. Jos a₃ = 11 ja a₈ = 31, niin 5d = 31 − 11 = 20 ja d = 4. Jakaja on askelten määrä 8 − 3 = 5 eikä jäsenten määrä.