Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten suoran yhtälö muodostetaan?
Suoran yhtälö muodostetaan kulmakertoimesta k ja yhdestä suoran pisteestä (x₀, y₀) kaavalla y − y₀ = k(x − x₀). Jos tunnetaan kaksi pistettä, kulmakerroin lasketaan ensin kaavalla k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Lopuksi yhtälö sievennetään muotoon y = kx + b, jossa b on y-akselin leikkauskohta.
Kulmakerroin kertoo, paljonko y muuttuu, kun x kasvaa yhdellä. Positiivinen kulmakerroin tarkoittaa nousevaa suoraa, negatiivinen laskevaa ja nolla vaakasuoraa. Pystysuoralla suoralla x = c kulmakerrointa ei ole, koska x ei muutu.
Yhdensuuntaisilla suorilla on sama kulmakerroin. Kohtisuorien suorien kulmakertoimien tulo on −1, joten toisen kulmakerroin on toisen negatiivinen käänteisluku: kulmakertoimelle 2/3 kohtisuora kulmakerroin on −3/2.
Sovelluksissa kulmakerroin on muutosnopeus ja vakiotermi b lähtötaso. Mallissa hinta = 0,15 · kilometrit + 4 kulmakerroin 0,15 on kilometrin hinta ja 4 on perusmaksu.
Kaava
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
y − y₀ = k(x − x₀)
y = kx + b
kohtisuorat suorat: k₁ · k₂ = −1
Esimerkki
Muodosta pisteiden (−1, 5) ja (3, −3) kautta kulkevan suoran yhtälö.
- Kulmakerroin: k = (−3 − 5) / (3 − (−1)) = −8/4 = −2.
- Pistemuoto pisteellä (−1, 5): y − 5 = −2(x + 1).
- Sievennys: y = −2x − 2 + 5 = −2x + 3.
- Tarkistus pisteellä (3, −3): −2 · 3 + 3 = −3. Vastaus: y = −2x + 3.
Tyypillinen virhe
Kohtisuoran suoran kulmakertoimesta käännetään vain toinen puoli. Kulmakertoimelle 3/4 kohtisuora kulmakerroin on −4/3, ei −3/4 eikä 4/3: sekä etumerkki että murtoluku kääntyvät.
Valintakokeessa A
Suoran yhtälö on valintakokeen A matematiikan tehtävissä perustyökalu. Kulmakertoimen tulkinta muutosnopeutena tarvitaan myös fysiikan kuvaajissa, joissa kulmakerroin on jokin suure, kuten nopeus tai kiihtyvyys.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 4: Funktiot ja niiden kuvaajat. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mikä on kulmakerroin?
Kulmakerroin kertoo suoran jyrkkyyden: kuinka monta yksikköä y muuttuu, kun x kasvaa yhdellä yksiköllä. Se lasketaan kahdesta pisteestä jakamalla y-koordinaattien erotus x-koordinaattien erotuksella. Yhtälössä y = kx + b kulmakerroin on x:n kerroin k.
Miten yhtälö ax + by + c = 0 muutetaan muotoon y = kx + b?
Ratkaise yhtälöstä y. Siirrä muut termit oikealle ja jaa y:n kertoimella. Esimerkiksi 2x + 4y − 8 = 0 antaa 4y = −2x + 8 ja edelleen y = −0,5x + 2. Kulmakerroin on −0,5 ja y-akselin leikkauskohta 2.