Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mitä eroa on suoraan ja kääntäen verrannollisuudella?
Suureet ovat suoraan verrannollisia, kun niiden osamäärä y/x on vakio eli y = kx: kun x kaksinkertaistuu, myös y kaksinkertaistuu. Kääntäen verrannollisilla suureilla tulo xy on vakio eli y = k/x: kun x kaksinkertaistuu, y puolittuu. Hinta on suoraan verrannollinen määrään, ja matka-aika on kääntäen verrannollinen nopeuteen.
Suoran verrannollisuuden kuvaaja on origon kautta kulkeva suora, ja vakio k on sen kulmakerroin. Vakiolla on yksikkö ja merkitys, esimerkiksi hinta kilolta tai nopeus. Jos mallissa on perusmaksu, kuten y = 2x + 5, suureet riippuvat toisistaan lineaarisesti mutta eivät ole verrannollisia.
Kääntäen verrannollisuuden kuvaaja on hyperbeli. Vakio k = xy on jokin säilyvä kokonaismäärä, esimerkiksi työmäärä henkilötyöpäivinä tai matkan pituus. Siksi tehtävä ratkeaa yhtälöllä x₁y₁ = x₂y₂.
Taulukosta verrannollisuus tunnistetaan laskemalla jokaiselle arvoparille sekä osamäärä että tulo. Jos osamäärä on kaikilla sama, kyse on suorasta verrannollisuudesta. Jos tulo on kaikilla sama, kyse on kääntäen verrannollisuudesta. Yksi arvopari ei riitä päätelmään.
Kaava
Suoraan verrannollinen: y = kx eli y/x = vakio
kääntäen verrannollinen: y = k/x eli xy = vakio
Esimerkki
Kuusi putkiasentajaa tekee urakan 10 päivässä. Kuinka monessa päivässä neljä samaa tahtia työskentelevää asentajaa tekee saman urakan?
- Enemmän tekijöitä tarkoittaa lyhyempää aikaa, joten tekijöiden määrä ja aika ovat kääntäen verrannollisia.
- Työmäärä on vakio: 6 · 10 = 60 henkilötyöpäivää.
- Neljällä tekijällä 4 · t = 60.
- t = 15 päivää.
Tyypillinen virhe
Kääntäen verrannolliseen tilanteeseen kirjoitetaan suoran verrannollisuuden verranto. Esimerkissä verranto 6/10 = 4/t antaisi noin 6,7 päivää, vaikka pienemmän joukon pitää tarvita enemmän aikaa. Järkitesti: kasvaako vai pieneneekö vastaus, kun toinen suure kasvaa?
Valintakokeessa A
Verrannollisuus tulee valintakokeen A tehtävissä vastaan sanallisissa mallinnustehtävissä, työtahtitehtävissä ja fysiikan kaavojen tulkinnassa, kun kysytään, miten suure muuttuu toisen muuttuessa.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 3: Prosentit, verrannollisuus ja yksiköt. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Onko y = 3x + 2 suoraan verrannollinen?
Ei ole. Kuvaaja on suora, mutta se ei kulje origon kautta, koska x = 0 antaa y = 2. Osamäärä y/x ei siksi ole vakio: x = 1 antaa 5 ja x = 2 antaa 4. Riippuvuus on lineaarinen mutta ei verrannollinen.
Mikä on verrannollisuuskerroin?
Verrannollisuuskerroin on vakio k mallissa y = kx tai y = k/x. Suorassa verrannollisuudessa se on osamäärä y/x, esimerkiksi hinta yksikköä kohti. Kääntäen verrannollisuudessa se on tulo xy, esimerkiksi kokonaistyömäärä. Kertoimella on yleensä yksikkö.