Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on vektorien pistetulo?
Vektorien pistetulo on luku, joka lasketaan koordinaateista kertomalla vastinkomponentit ja laskemalla tulot yhteen: (a₁, a₂) · (b₁, b₂) = a₁b₁ + a₂b₂. Sama luku on |a||b| cos θ, missä θ on vektorien välinen kulma. Jos pistetulo on nolla, nollasta eroavat vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Kahden esitystavan yhtäsuuruudesta saadaan kulman kaava cos θ = a · b / (|a||b|), joten kulman voi laskea koordinaateista ilman kuvaa. Pistetulon merkki kertoo kulman laadun: positiivinen tarkoittaa terävää, nolla suoraa ja negatiivinen tylppää kulmaa.
Kohtisuoruusehto a · b = 0 on yhtälö, josta voi ratkaista tuntemattoman komponentin. Vektorit (2, t) ja (3, −6) ovat kohtisuorassa, kun 6 − 6t = 0 eli t = 1.
Pistetulo lasketaan samalla tavalla avaruudessa, jossa mukaan tulee kolmas komponentti. Fysiikassa voiman tekemä työ on voiman ja siirtymän pistetulo, joten vain siirtymän suuntainen voiman osa tekee työtä.
Kaava
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃)
a · b = |a||b| cos θ
cos θ = a · b / (|a||b|)
a ⊥ b ⇔ a · b = 0
Esimerkki
Laske vektorien a = (2, 3) ja b = (4, −1) välinen kulma.
- Pistetulo: a · b = 2 · 4 + 3 · (−1) = 5.
- Pituudet: |a| = √(4 + 9) = √13 ja |b| = √(16 + 1) = √17.
- cos θ = 5 / (√13 · √17) = 5 / √221 ≈ 0,336.
- θ ≈ 70,3°.
Tyypillinen virhe
Pistetuloa pidetään vektorina, vaikka se on luku eikä sillä ole suuntaa. Toinen virhe on päätellä kulma pelkästä pistetulon suuruudesta, vaikka pistetulo riippuu myös vektorien pituuksista.
Valintakokeessa A
Vektorit kuuluvat pitkän matematiikan sisältöihin, joihin valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Pistetuloa tarvitaan myös fysiikassa voimien ja työn laskuissa.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 10: Vektorit ja analyyttinen geometria. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miten tarkistetaan, ovatko vektorit kohtisuorassa?
Lasketaan pistetulo. Jos se on nolla ja kumpikaan vektori ei ole nollavektori, vektorit ovat kohtisuorassa. Esimerkiksi (3, 4) · (4, −3) = 12 − 12 = 0, joten vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Miten vektorin pituus lasketaan?
Pituus lasketaan komponenteista Pythagoraan lauseella: |(a₁, a₂)| = √(a₁² + a₂²). Esimerkiksi |(3, 4)| = √(9 + 16) = 5. Pituus on myös vektorin ja itsensä pistetulon neliöjuuri, |a| = √(a · a).