Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Milloin käytetään sinilausetta ja milloin kosinilausetta?
Sinilausetta a/sin A = b/sin B = c/sin C käytetään, kun kolmiosta tunnetaan jokin sivu ja sen vastainen kulma. Kosinilausetta c² = a² + b² − 2ab cos C käytetään, kun tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma tai kaikki kolme sivua. Molemmat toimivat myös kolmioissa, joissa ei ole suoraa kulmaa.
Merkinnöissä pieni kirjain on saman ison kirjaimen kulman vastainen sivu: sivu a on kulmaa A vastapäätä. Sinilauseen jokaisessa murtoluvussa on sivu ja sen vastainen kulma. Kosinilauseessa kulma C on sivujen a ja b välinen kulma, ja laskettava sivu c on sen vastainen sivu.
Kosinilause on Pythagoraan lauseen yleistys. Jos C = 90°, niin cos C = 0 ja kaava sievenee muotoon c² = a² + b². Terävällä kulmalla kosinitermi pienentää sivua c, tylpällä kulmalla kasvattaa sitä.
Sinilauseessa on yksi ansa. Jos tunnetaan kaksi sivua ja kulma, joka ei ole niiden välissä, toiselle kulmalle voi tulla kaksi arvoa, koska sin α = sin(180° − α). Silloin tarkistetaan, sopivatko molemmat kolmion kulmasummaan 180°.
Kaava
Sinilause: a / sin A = b / sin B = c / sin C
kosinilause: c² = a² + b² − 2ab cos C
Esimerkki
Kolmion sivut ovat a = 5 ja b = 7, ja niiden välinen kulma on C = 120°. Laske sivu c.
- Tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma, joten käytetään kosinilausetta.
- c² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 120° = 25 + 49 − 70 · (−0,5).
- c² = 74 + 35 = 109.
- c = √109 ≈ 10,4.
Tyypillinen virhe
Kosinilauseeseen sijoitetaan väärä kulma. Kaavassa c² = a² + b² − 2ab cos C kulman C on oltava sivujen a ja b välissä ja sivun c vastapäätä. Jos tunnettu kulma on jonkin muun sivuparin välissä, kirjaimet nimetään ensin uudelleen.
Valintakokeessa A
Kolmion ratkaiseminen tulee valintakokeen A tehtävissä vastaan geometriassa, vektoreissa ja fysiikassa, esimerkiksi kun kahden voiman tai nopeuden summa lasketaan niiden välisen kulman avulla.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 6: Trigonometria. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Voiko sinilausetta käyttää suorakulmaisessa kolmiossa?
Voi, mutta se ei yleensä ole tarpeen. Suorakulmaisessa kolmiossa riittävät sini, kosini ja tangentti sekä Pythagoraan lause. Sinilause ja kosinilause on tarkoitettu kolmioille, joissa suoraa kulmaa ei ole, mutta ne pätevät kaikissa kolmioissa.
Miten kulma lasketaan, kun tunnetaan kolme sivua?
Kosinilause ratkaistaan kosinin suhteen: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab). Esimerkiksi kolmiossa, jonka sivut ovat 3, 5 ja 7, pisimmän sivun vastaiselle kulmalle cos C = (9 + 25 − 49)/30 = −0,5, joten C = 120°.