Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on radiaani?
Radiaani on kulman yksikkö: yhden radiaanin kulmaa vastaa ympyrän kaari, joka on yhtä pitkä kuin säde. Täysi kierros on 2π radiaania eli 360°, joten 180° = π rad. Asteet muunnetaan radiaaneiksi kertomalla luvulla π/180 ja radiaanit asteiksi kertomalla luvulla 180/π.
Radiaani on kaaren pituuden ja säteen suhde, joten se on pelkkä luku. Koko kehän pituus on 2πr, joten täyteen kierrokseen mahtuu 2π säteen mittaista kaarta. Yksi radiaani on noin 57,3 astetta.
Muunnos kannattaa tehdä murtolukuina. Kulma 60° on 60/180 = 1/3 puolikierroksesta, joten se on π/3. Kulma 3π/4 on kolme neljäsosaa puolikierroksesta eli 135°.
Radiaaneissa kaavat ovat lyhyitä: kaaren pituus on b = rα ja sektorin ala A = ½r²α. Myös derivointisääntö (sin x)′ = cos x pätee vain, kun x on radiaaneina. Siksi analyysissa kulmat ilmoitetaan radiaaneina.
Kaava
α (rad) = α (°) · π/180
α (°) = α (rad) · 180/π
kaari b = rα
sektorin ala A = ½r²α
Esimerkki
Ympyrän säde on 6 cm ja keskuskulma 150°. Laske keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus.
- Muunna kulma radiaaneiksi: 150° = 150/180 · π = 5π/6.
- Kaaren pituus: b = rα = 6 · 5π/6 = 5π.
- 5π ≈ 15,7.
- Vastaus: noin 15,7 cm.
Tyypillinen virhe
Laskin on väärässä tilassa. Asteilla toimiva laskin antaa lausekkeelle sin(π/6) arvon noin 0,0091 eikä 0,5. Tilan voi tarkistaa yhdellä tunnetulla arvolla, esimerkiksi sin(π/2) = 1 radiaanitilassa.
Valintakokeessa A
Valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026 pitkän matematiikan sisältöihin, ja trigonometristen funktioiden derivoinnissa ja integroinnissa kulmat ovat radiaaneja. Fysiikassa radiaaneja tarvitaan ympyräliikkeessä ja värähtelyssä.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 6: Trigonometria. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Montako astetta on yksi radiaani?
Yksi radiaani on 180°/π eli noin 57,3 astetta. Luku saadaan siitä, että puoli kierrosta on sekä 180° että π radiaania. Käytännössä radiaanit ilmoitetaan usein π:n monikertoina, kuten π/4 tai 2π/3, eikä desimaalilukuina.
Miksi derivoinnissa käytetään radiaaneja?
Derivointisääntö (sin x)′ = cos x on voimassa vain, kun x on radiaaneina. Asteissa derivaattaan tulisi lisäkerroin π/180. Radiaaneissa kulma ja kaaren pituus ovat samaa mittakaavaa, ja siksi analyysin kaavat ovat yksinkertaisia.