Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on Pythagoraan lause?
Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa kateettien neliöiden summa on hypotenuusan neliö: a² + b² = c². Hypotenuusa c on suoran kulman vastainen sivu ja kolmion pisin sivu. Lause pätee myös käänteisesti: jos kolmion sivuille pätee a² + b² = c², kolmio on suorakulmainen.
Kun lasketaan hypotenuusaa, neliöt lasketaan yhteen: kateeteilla 6 ja 8 hypotenuusa on √(36 + 64) = 10. Kun lasketaan kateettia, neliöt vähennetään: hypotenuusalla 13 ja kateetilla 5 toinen kateetti on √(169 − 25) = 12.
Lause pätee vain suorakulmaisessa kolmiossa. Muissa kolmioissa käytetään kosinilausetta, joka on Pythagoraan lauseen yleistys. Käänteislauseella voi tarkistaa kolmion suurimman kulman: jos pisimmän sivun neliö on suurempi kuin muiden sivujen neliöiden summa, kulma on tylppä, ja jos pienempi, kolmio on teräväkulmainen.
Samaa lausetta käytetään koordinaatistossa pisteiden etäisyyden kaavana ja avaruudessa suorakulmaisen särmiön lävistäjän laskemisessa: d = √(a² + b² + c²).
Kaava
a² + b² = c² (c on hypotenuusa)
kateetti a = √(c² − b²)
Esimerkki
Suorakulmaisen särmiön särmät ovat 3 cm, 4 cm ja 12 cm. Laske särmiön avaruuslävistäjän pituus.
- Pohjan lävistäjä: √(3² + 4²) = √25 = 5 cm.
- Pohjan lävistäjä ja 12 cm:n pystysärmä muodostavat suorakulmaisen kolmion.
- Avaruuslävistäjä: √(5² + 12²) = √169 = 13 cm.
- Vastaus: 13 cm.
Tyypillinen virhe
Kateettia laskettaessa neliöt lasketaan yhteen vähentämisen sijaan. Silloin kateetista tulee hypotenuusaa pidempi, mikä on mahdotonta. Hypotenuusan on aina oltava suorakulmaisen kolmion pisin sivu.
Valintakokeessa A
Geometria kuuluu sekä lyhyen että pitkän matematiikan pakollisiin sisältöihin, joihin valintakokeen A yhteisen osion matematiikka perustui vuonna 2026. Pythagoraan lausetta tarvitaan myös vektoreissa, analyyttisessä geometriassa ja fysiikan voimakuvioissa.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 17: Geometria: taso, avaruus ja mittaus. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mikä on Pythagoraan kolmikko?
Pythagoraan kolmikko on kolme positiivista kokonaislukua, jotka toteuttavat yhtälön a² + b² = c². Esimerkkejä ovat 3, 4, 5 ja 5, 12, 13. Kolmikon monikerrat, kuten 6, 8, 10, ovat myös kolmikkoja. Tehtävissä ne tuottavat kokonaislukuvastauksia ilman neliöjuuria.
Päteekö Pythagoraan lause kaikissa kolmioissa?
Ei päde. Lause koskee vain suorakulmaisia kolmioita. Vinokulmaisessa kolmiossa sivujen välinen yhteys on kosinilause c² = a² + b² − 2ab cos C. Kun kulma C on 90°, kosini on nolla ja kosinilause palautuu Pythagoraan lauseeksi.