Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on ympyrän yhtälö?
Ympyrän yhtälö on (x − a)² + (y − b)² = r², missä (a, b) on ympyrän keskipiste ja r sen säde. Yhtälö sanoo, että jokaisen kehän pisteen etäisyys keskipisteestä on r. Esimerkiksi yhtälön (x − 2)² + (y + 1)² = 9 ympyrän keskipiste on (2, −1) ja säde 3.
Yhtälö on kahden pisteen etäisyyskaava neliöitynä. Pisteen (x, y) etäisyys keskipisteestä on √((x − a)² + (y − b)²). Kun tämä asetetaan yhtä suureksi kuin r ja korotetaan neliöön, saadaan ympyrän yhtälö.
Jos sulut on avattu, yhtälö on muotoa x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Keskipiste ja säde saadaan täydentämällä neliöksi erikseen x- ja y-termeille. Jos oikealle puolelle jää negatiivinen luku, yhtälö ei esitä ympyrää.
Piste on ympyrän sisällä, kun sen sijoittaminen vasemmalle puolelle antaa pienemmän arvon kuin r², ja ulkopuolella, kun arvo on suurempi. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet saadaan sijoittamalla suoran yhtälö ympyrän yhtälöön, jolloin syntyy toisen asteen yhtälö.
Kaava
(x − a)² + (y − b)² = r²
keskipiste (a, b), säde r
Esimerkki
Määritä ympyrän x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 keskipiste ja säde.
- Ryhmittele: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12.
- Täydennä neliöiksi: (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12.
- (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
- Keskipiste on (3, −2) ja säde √25 = 5.
Tyypillinen virhe
Keskipisteen merkki luetaan väärin tai säteeksi luetaan r². Yhtälön (x + 4)² + (y − 1)² = 16 ympyrän keskipiste on (−4, 1) ja säde 4, ei 16.
Valintakokeessa A
Analyyttinen geometria kuuluu pitkän matematiikan sisältöihin, joihin valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Ympyrän ja suoran leikkauspisteiden laskussa tarvitaan samalla suoran yhtälöä ja toisen asteen yhtälöä.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 10: Vektorit ja analyyttinen geometria. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miten tarkistetaan, onko piste ympyrällä?
Sijoitetaan pisteen koordinaatit yhtälöön. Jos yhtälö toteutuu, piste on kehällä. Esimerkiksi piste (5, 3) on ympyrällä (x − 2)² + (y + 1)² = 25, koska 3² + 4² = 25. Jos vasen puoli on pienempi kuin r², piste on ympyrän sisällä.
Mikä on yksikköympyrä?
Yksikköympyrä on origokeskinen ympyrä, jonka säde on 1, eli x² + y² = 1. Trigonometriassa kulman α kosini ja sini määritellään yksikköympyrän kehäpisteen koordinaateiksi (cos α, sin α). Tästä seuraa kaava sin²α + cos²α = 1.