Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mitä eroa on kehäkulmalla ja keskuskulmalla?
Keskuskulman kärki on ympyrän keskipisteessä ja kehäkulman kärki ympyrän kehällä, ja kummankin kyljet rajaavat ympyrästä kaaren. Samaa kaarta vastaava kehäkulma on puolet keskuskulmasta. Erikoistapauksena puoliympyrää eli halkaisijaa vastaava kehäkulma on 90°, mikä tunnetaan Thaleen lauseena. Esimerkiksi 80°:n keskuskulmaa vastaava kehäkulma on 40°.
Kehäkulmalauseesta seuraa, että kaikki samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuria riippumatta siitä, missä kohtaa kehää kärki on. Jos keskuskulma on 100°, jokainen samaa kaarta vastaava kehäkulma on 50°.
Keskuskulma määrää myös kaaren pituuden ja sektorin alan. Keskuskulma α on osuus α/360° koko ympyrästä, joten kaaren pituus on α/360° · 2πr ja sektorin ala α/360° · πr².
Thaleen lause tuottaa tehtävään suorakulmaisen kolmion, jota ei ole annettu suoraan. Jos kolmion yksi sivu on ympyrän halkaisija ja kolmas kärki on kehällä, kolmannen kärjen kulma on suora, ja Pythagoraan lausetta voi käyttää.
Kaava
kehäkulma = keskuskulma / 2 (sama kaari)
kaari b = α/360° · 2πr
sektorin ala A = α/360° · πr²
Esimerkki
Ympyrän halkaisija AB on 10 cm, ja piste C on kehällä niin, että AC = 6 cm. Laske janan BC pituus.
- Kulma ACB vastaa halkaisijaa, joten Thaleen lauseen mukaan se on 90°.
- Kolmio ABC on suorakulmainen, ja AB on sen hypotenuusa.
- BC = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm.
- Vastaus: 8 cm.
Tyypillinen virhe
Kehäkulma ja keskuskulma sekoitetaan, jolloin tulos on kaksinkertainen tai puolet oikeasta. Tarkista, onko kulman kärki keskipisteessä vai kehällä ja vastaavatko kulmat samaa kaarta.
Valintakokeessa A
Ympyrän kulmat kuuluvat geometriaan, jota voidaan tarvita valintakokeen A matematiikan tehtävissä. Ympyrän geometrian tulokset, kuten Thaleen lause, yhdistyvät laskuissa Pythagoraan lauseeseen ja trigonometriaan.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 17: Geometria: taso, avaruus ja mittaus. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mikä on Thaleen lause?
Thaleen lauseen mukaan puoliympyrän sisään piirretty kulma on suora. Jos kolmion kaksi kärkeä ovat ympyrän halkaisijan päätepisteissä ja kolmas kärki kehällä, kolmannen kärjen kulma on 90°. Lause on kehäkulmalauseen erikoistapaus, koska halkaisijaa vastaava keskuskulma on 180°.
Miten sektorin ala lasketaan?
Sektorin ala on sama osuus ympyrän alasta kuin keskuskulma on täydestä kulmasta: A = α/360° · πr². Esimerkiksi säteellä 6 cm ja keskuskulmalla 60° ala on 1/6 · π · 36 cm² = 6π cm² ≈ 18,8 cm².