Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on tekijälause?
Tekijälauseen mukaan polynomi P(x) on jaollinen polynomilla x − a täsmälleen silloin, kun P(a) = 0. Toisin sanoen a on yhtälön P(x) = 0 juuri silloin ja vain silloin, kun x − a on polynomin tekijä. Tekijälause on jäännöslauseen erikoistapaus: jaettaessa polynomilla x − a jakojäännös on P(a).
Jäännöslause seuraa jakoyhtälöstä. Kun P(x) = (x − a)Q(x) + J, sijoitus x = a antaa P(a) = J, koska ensimmäinen termi häviää. Jakojäännöksen saa siis laskematta jakolaskua.
Kokonaislukukertoimisen polynomin kokonaislukujuuret löytyvät vakiotermin tekijöiden joukosta, kun korkeimman asteen termin kerroin on 1. Ehdokkaat sijoitetaan polynomiin, ja kun juuri löytyy, polynomi jaetaan tekijällä x − a. Jäljelle jää matalamman asteen yhtälö.
Tekijälausetta käytetään myös parametritehtävissä. Jos tiedetään, että x − 2 on polynomin tekijä, niin P(2) = 0, ja tästä yhtälöstä ratkaistaan tuntematon kerroin.
Kaava
Jäännöslause: P(x) jaettuna polynomilla x − a antaa jakojäännöksen P(a)
tekijälause: x − a on P:n tekijä ⇔ P(a) = 0
Esimerkki
Ratkaise yhtälö x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.
- Kokonaislukujuuret ovat vakiotermin −6 tekijöitä: ±1, ±2, ±3, ±6. Kokeillaan x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0.
- Tekijälauseen mukaan x − 1 on tekijä. Jakolasku antaa x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6).
- Toisen asteen tekijä jakautuu: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
- Ratkaisut ovat x = 1, x = 2 ja x = 3.
Tyypillinen virhe
Tekijän merkki menee väärin. Jos P(3) = 0, tekijä on x − 3 eikä x + 3. Juuri a vastaa aina tekijää x − a.
Valintakokeessa A
Polynomiyhtälöt kuuluvat pitkän matematiikan sisältöihin, joihin valintakokeen A matematiikan syventävä osio perustui vuonna 2026. Tekijälauseella korkeamman asteen yhtälö saadaan palautettua toisen asteen yhtälöksi.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 23: Polynomit: jakoyhtälö, tekijöihinjako ja korkeamman asteen yhtälöt. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miten polynomin juurta etsitään?
Jos polynomin kertoimet ovat kokonaislukuja ja korkeimman asteen termin kerroin on 1, jokainen kokonaislukujuuri on vakiotermin tekijä. Ehdokkaat sijoitetaan polynomiin pienimmästä itseisarvosta alkaen. Kun arvo on nolla, juuri on löytynyt, ja polynomi jaetaan vastaavalla tekijällä.
Mitä jäännöslause sanoo?
Jäännöslauseen mukaan polynomin P(x) jakojäännös jaettaessa polynomilla x − a on P(a). Esimerkiksi polynomin x³ + 2x − 1 jakojäännös jaettaessa polynomilla x − 2 on 8 + 4 − 1 = 11. Jakolaskua ei tarvitse tehdä, jos kysytään vain jakojäännöstä.