Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on laatikkoperiaate?
Laatikkoperiaatteen mukaan, jos n esinettä sijoitetaan k laatikkoon ja n > k, ainakin yhdessä laatikossa on vähintään kaksi esinettä. Yleisemmin jossakin laatikossa on vähintään ⌈n/k⌉ esinettä, missä ⌈ ⌉ tarkoittaa pyöristystä ylöspäin. Periaatteella ratkaistaan kysymyksiä, joissa jonkin on tapahduttava varmasti.
Periaate perustellaan vastaoletuksella. Jos jokaisessa k laatikossa olisi enintään yksi esine, esineitä olisi enintään k. Koska esineitä on enemmän, oletus on väärä. Samalla tavalla 13 ihmisen joukossa ainakin kahdella on syntymäpäivä samassa kuukaudessa.
Kysymykset muotoa ”montako on nostettava, jotta varmasti saadaan” ratkaistaan pahimman tapauksen kautta. Rakennetaan epäonnisin mahdollinen nostosarja, jossa tavoite ei vielä toteudu, ja lisätään yksi. Sana varmasti tarkoittaa pahinta tapausta, ei todennäköisintä.
Jos tavoitteena on tietty väri, pahin tapaus muuttuu. Kun halutaan varmasti kaksi punaista, pahin tapaus on nostaa ensin kaikki muut värit ja yksi punainen, ja vasta seuraava nosto takaa toisen punaisen.
Kaava
n esinettä, k laatikkoa, n > k ⇒ jossakin laatikossa vähintään ⌈n/k⌉ esinettä
varmasti-kysymys: pahin tapaus + 1
Esimerkki
Laatikossa on 10 sinistä, 8 vihreää ja 5 keltaista palloa. Montako palloa on nostettava katsomatta, jotta saadaan varmasti kolme samanväristä?
- Värejä eli laatikoita on kolme.
- Pahin tapaus: kutakin väriä kaksi palloa, jolloin kolmea samanväristä ei vielä ole. Palloja on 3 · 2 = 6.
- Seitsemäs pallo on jotakin jo nostettua väriä, ja siitä väristä tulee kolmas pallo.
- Vastaus: 7 palloa. Sama tulos kaavasta: ⌈7/3⌉ = 3.
Tyypillinen virhe
Vastauksesta jää pois viimeinen yksi. Pahimman tapauksen pituus kertoo, montako voidaan nostaa ilman tavoitetta, ja varmuuteen tarvitaan yksi nosto lisää.
Valintakokeessa A
Valintakokeen A yhteisessä osiossa oli vuonna 2026 kaksi loogisen päättelyn ja ongelmanratkaisun tehtävää, yhteensä enintään 30 pistettä. Laatikkoperiaate on päättelyn työkalu tilanteisiin, joissa kysytään, mikä on varmasti totta.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 12: Päättelytehtävät ja ongelmanratkaisu. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä merkintä ⌈n/k⌉ tarkoittaa?
Merkintä tarkoittaa luvun n/k pyöristämistä ylöspäin lähimpään kokonaislukuun. Jos 25 henkilöä jaetaan 12 kuukauteen, 25/12 ≈ 2,08, joten ⌈25/12⌉ = 3. Ainakin yhdessä kuukaudessa on siis vähintään kolmen henkilön syntymäpäivä.
Mitä eroa on kysymyksillä varmasti ja enintään?
Kysymykseen ”montako on nostettava, jotta varmasti” vastataan pahin tapaus plus yksi. Kysymykseen ”montako voidaan enintään nostaa ilman, että” vastataan pahimman tapauksen pituudella ilman lisäystä. Vastaukset eroavat yhdellä, joten kysymys kannattaa lukea tarkkaan.