Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on kontrapositio?
Kontrapositio on väitteen ”jos P, niin Q” muunnos ”jos ei Q, niin ei P”. Se on aina loogisesti yhtäpitävä alkuperäisen väitteen kanssa: jos toinen on tosi, myös toinen on. Väitteen ”jos sataa, katu on märkä” kontrapositio on ”jos katu ei ole märkä, ei sada”. Käänteinen väite ”jos katu on märkä, sataa” ei seuraa alkuperäisestä.
Implikaatio ”jos P, niin Q” on epätosi vain yhdessä tilanteessa: P on tosi ja Q epätosi. Kontrapositio kieltää täsmälleen saman tilanteen, joten sen totuusarvo on aina sama. Käänteinen väite ”jos Q, niin P” ja vastakohta ”jos ei P, niin ei Q” ovat keskenään yhtäpitäviä, mutta eivät alkuperäisen kanssa.
Kontrapositio muodostetaan kahdessa vaiheessa: osat vaihtavat paikkaa, ja molemmat kielletään. Väitteestä ”jos luku on jaollinen neljällä, se on parillinen” tulee ”jos luku ei ole parillinen, se ei ole jaollinen neljällä”. Käänteinen väite ”jos luku on parillinen, se on jaollinen neljällä” kaatuu lukuun 6.
Kontrapositiota käytetään myös todistuksissa. Jos väitettä on vaikea todistaa suoraan, voidaan todistaa sen kontrapositio, koska se on sama väite toisessa muodossa.
Kaava
P ⇒ Q on yhtäpitävä kuin ei Q ⇒ ei P
Q ⇒ P ja ei P ⇒ ei Q eivät seuraa väitteestä P ⇒ Q
Esimerkki
Väite: ”Jos laite on kytketty verkkoon, sen merkkivalo palaa.” Mikä seuraa väitteestä? (a) Jos merkkivalo palaa, laite on kytketty verkkoon. (b) Jos merkkivalo ei pala, laitetta ei ole kytketty verkkoon. (c) Jos laitetta ei ole kytketty verkkoon, merkkivalo ei pala.
- Merkitään P: laite on kytketty verkkoon ja Q: merkkivalo palaa. Väite on P ⇒ Q.
- Vaihtoehto (a) on Q ⇒ P eli käänteinen väite. Se ei seuraa, koska valo voi palaa muustakin syystä.
- Vaihtoehto (c) on ei P ⇒ ei Q eli vastakohta. Sekään ei seuraa.
- Vaihtoehto (b) on ei Q ⇒ ei P eli kontrapositio, joten se seuraa väitteestä. Vastaus: (b).
Tyypillinen virhe
Käänteinen väite hyväksytään. Väitteestä ”kaikki neliöt ovat suorakulmioita” ei seuraa, että kaikki suorakulmiot olisivat neliöitä. Käänteisen väitteen kumoaa yksi vastaesimerkki.
Valintakokeessa A
Vuoden 2026 valintakokeen A yhteisessä osiossa oli kaksi loogisen päättelyn ja ongelmanratkaisun tehtävää, joista sai yhteensä enintään 30 pistettä. Väitteen suunnan ja kiellon hallinta on loogisen päättelyn perustaito.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 12: Päättelytehtävät ja ongelmanratkaisu. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä eroa on kontrapositiolla ja käänteisellä väitteellä?
Käänteisessä väitteessä ehto ja seuraus vain vaihtavat paikkaa: ”jos Q, niin P”. Kontrapositiossa ne vaihtavat paikkaa ja lisäksi molemmat kielletään: ”jos ei Q, niin ei P”. Kontrapositio on aina yhtäpitävä alkuperäisen kanssa, käänteinen väite ei ole.
Miten jos ja vain jos eroaa tavallisesta implikaatiosta?
Väite ”P jos ja vain jos Q” tarkoittaa, että sekä P ⇒ Q että Q ⇒ P ovat tosia. Silloin ehto on sekä riittävä että välttämätön, ja myös käänteinen väite pätee. Tavallinen ”jos P, niin Q” sanoo vain yhden suunnan.