Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on vastatapahtuma ja miten sillä lasketaan todennäköisyys?
Tapahtuman A vastatapahtuma on tapahtuma, jossa A ei toteudu. Tapahtuman ja sen vastatapahtuman todennäköisyydet ovat yhteensä 1, joten P(A) = 1 − P(ei A). Vastatapahtumalla lasketaan erityisesti kysymykset muotoa ”vähintään yksi”: todennäköisyys saada vähintään yksi kutonen on 1 miinus todennäköisyys, ettei kutosta tule lainkaan.
Tapahtuma ja sen vastatapahtuma jakavat kaikki mahdolliset tulokset kahteen osaan, jotka eivät mene päällekkäin. Siksi niiden todennäköisyydet täydentävät toisensa ykköseksi. Jos sateen todennäköisyys on 0,3, poutapäivän todennäköisyys on 0,7.
Vähintään yksi -tapahtuma sisältää monta osatapausta: tasan yksi, tasan kaksi ja niin edelleen. Vastatapahtuma on yksi tapaus, ei yhtään. Neljällä nopanheitolla todennäköisyys, ettei kutosta tule, on (5/6)⁴, joten vähintään yhden kutosen todennäköisyys on 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,518.
Vastatapahtuma muodostetaan kieltämällä koko väite. Tapahtuman ”kaikki ovat punaisia” vastatapahtuma on ”ainakin yksi ei ole punainen”, ei ”yksikään ei ole punainen”. Sama sääntö pätee logiikan kiellossa.
Kaava
P(A) + P(ei A) = 1
P(vähintään yksi) = 1 − P(ei yhtään)
Esimerkki
Laitteen komponentti vikaantuu vuoden aikana todennäköisyydellä 0,05. Laitteessa on kolme komponenttia, jotka vikaantuvat toisistaan riippumatta. Millä todennäköisyydellä ainakin yksi vikaantuu vuoden aikana?
- Vastatapahtuma: yksikään komponentti ei vikaannu.
- Yksi komponentti säilyy ehjänä todennäköisyydellä 1 − 0,05 = 0,95.
- Kaikki kolme säilyvät ehjinä: 0,95³ = 0,857375.
- Ainakin yksi vikaantuu: 1 − 0,857375 ≈ 0,143.
Tyypillinen virhe
Todennäköisyydet lasketaan yhteen. Summa 3 · 0,05 = 0,15 on väärin, koska se laskee kahden ja kolmen vian tapaukset moneen kertaan. Kahdellakymmenellä komponentilla summa olisi jo 1, mikä paljastaa virheen.
Valintakokeessa A
Todennäköisyys voi tulla valintakokeessa A vastaan sekä matematiikan että loogisen päättelyn ja ongelmanratkaisun tehtävissä. Vähintään yksi -kysymys ratkeaa vastatapahtuman kautta yleensä lyhyemmällä laskulla kuin suoraan.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 11: Todennäköisyys ja kombinatoriikka. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miten vastatapahtumaa merkitään?
Vastatapahtumaa merkitään usein Ā, Aᶜ tai A′ ja sanallisesti ”ei A”. Merkintä vaihtelee kirjasta toiseen, mutta sisältö on sama: kaikki ne tulokset, joissa A ei toteudu. Laskusääntö P(Ā) = 1 − P(A) pätee kaikille tapahtumille.
Miksi vähintään yksi kannattaa laskea vastatapahtumalla?
Suora lasku vaatisi kaikkien osatapausten laskemisen erikseen: tasan yksi, tasan kaksi ja niin edelleen. Vastatapahtuma ei yhtään on yksi tapaus, jonka todennäköisyys on usein yksi tulo. Kun se vähennetään ykkösestä, saadaan sama tulos lyhyemmällä laskulla.