Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on ehdollinen todennäköisyys?
Ehdollinen todennäköisyys P(A|B) on tapahtuman A todennäköisyys, kun tiedetään, että tapahtuma B on sattunut. Se lasketaan kaavalla P(A|B) = P(A ja B) / P(B). Käytännössä tieto B:stä rajaa tarkastelun niihin tapauksiin, joissa B toteutuu, ja kysytään, kuinka suuri osa niistä on myös A-tapauksia.
Kaava on luontevin lukumäärinä. Jos 400 vastaajasta 240 harrastaa liikuntaa ja heistä 96 nukkuu yli kahdeksan tuntia, todennäköisyys nukkua yli kahdeksan tuntia liikuntaa harrastavien joukossa on 96/240 = 0,40.
Ehdon suunnalla on väliä. P(A|B) ja P(B|A) ovat yleensä eri lukuja. Todennäköisyys, että sairas saa positiivisen testituloksen, voi olla suuri, vaikka todennäköisyys, että positiivisen tuloksen saanut on sairas, olisi pieni. Suunta käännetään Bayesin kaavalla.
Kaavasta seuraa tulosääntö P(A ja B) = P(B) · P(A|B), jolla lasketaan peräkkäisiä tapahtumia. Tapahtumat ovat riippumattomia, jos P(A|B) = P(A) eli tieto B:stä ei muuta A:n todennäköisyyttä.
Kaava
P(A|B) = P(A ja B) / P(B), kun P(B) > 0
tulosääntö P(A ja B) = P(B) · P(A|B)
riippumattomuus P(A|B) = P(A)
Esimerkki
Laatikossa on 12 palloa, joista 5 on punaisia. Nostetaan kaksi palloa ilman palautusta. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat punaisia?
- Ensimmäinen pallo on punainen todennäköisyydellä 5/12.
- Jos ensimmäinen oli punainen, jäljellä on 11 palloa, joista 4 on punaisia, joten toinen on punainen ehdollisella todennäköisyydellä 4/11.
- Tulosääntö: P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 5/33.
- Vastaus: 5/33 ≈ 0,15.
Tyypillinen virhe
Ehto käännetään väärin päin. P(sateenvarjo | sade) ei ole sama kuin P(sade | sateenvarjo). Nimittäjään tulee aina sen tapahtuman todennäköisyys, joka tiedetään jo sattuneeksi.
Valintakokeessa A
Todennäköisyys voi tulla valintakokeessa A vastaan matematiikan tehtävissä ja aineistoissa, joissa luvut annetaan taulukkona. Ehdollinen todennäköisyys luetaan taulukosta jakamalla solun luku ehdon mukaisen rivin tai sarakkeen summalla.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 26: Todennäköisyyden syventäminen: ehdollisuus, jakaumat ja odotusarvo. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä eroa on riippumattomilla ja toisensa poissulkevilla tapahtumilla?
Toisensa poissulkevat tapahtumat eivät voi sattua yhtä aikaa. Riippumattomat tapahtumat voivat sattua yhtä aikaa, mutta toisen tapahtuminen ei muuta toisen todennäköisyyttä. Jos kahden toisensa poissulkevan tapahtuman todennäköisyydet ovat positiivisia, tapahtumat ovat riippuvia, koska toisen sattuminen estää toisen.
Mikä on Bayesin kaava?
Bayesin kaava kääntää ehdon suunnan: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B). Sen avulla lasketaan esimerkiksi todennäköisyys, että positiivisen testituloksen saanut on sairas, kun tunnetaan testin osuvuus ja sairauden yleisyys. Nimittäjä P(B) lasketaan usein kokonaistodennäköisyytenä puukaaviosta.