Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mitä eroa on kombinaatiolla ja permutaatiolla?
Permutaatiossa alkiot asetetaan järjestykseen, joten sama valinta eri järjestyksessä on eri tulos. Kombinaatiossa valitaan joukko, jossa järjestyksellä ei ole väliä. Kun n alkiosta valitaan k, järjestettyjä valintoja on n!/(n − k)! ja järjestämättömiä valintoja eli kombinaatioita C(n, k) = n!/(k!(n − k)!).
Järjestettyjen valintojen määrä saadaan tuloperiaatteella. Ensimmäiseen paikkaan on n vaihtoehtoa, toiseen n − 1 ja niin edelleen k paikan verran. Esimerkiksi kymmenestä henkilöstä voidaan valita puheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja 10 · 9 · 8 = 720 tavalla.
Kombinaatiossa jokainen k alkion joukko esiintyy järjestettyjen valintojen joukossa k! kertaa, koska sen jäsenet voidaan järjestää k! tavalla. Siksi järjestettyjen valintojen määrä jaetaan luvulla k!. Kolmen hengen työryhmiä kymmenestä henkilöstä on 720/6 = 120.
Sanamuoto ei yksin ratkaise, kumpi on kyseessä. Ratkaiseva kysymys on, ovatko kaksi eri järjestyksessä syntynyttä tulosta sama tulos. Lottorivi on sama riippumatta arvontajärjestyksestä, joten se on kombinaatio. Juoksukilpailun kolme ensimmäistä sijaa ovat permutaatio.
Kaava
n alkion järjestykset: n!
k alkiota järjestyksessä: n!/(n − k)!
kombinaatiot: C(n, k) = n! / (k!(n − k)!)
Esimerkki
Ryhmässä on 7 tyttöä ja 5 poikaa. Kuinka monella tavalla voidaan valita neljän hengen joukkue, jossa on kaksi tyttöä ja kaksi poikaa?
- Joukkueessa järjestyksellä ei ole väliä, joten lasketaan kombinaatioita.
- Tytöt: C(7, 2) = 7 · 6 / 2 = 21.
- Pojat: C(5, 2) = 5 · 4 / 2 = 10.
- Valinnat yhdistetään tuloperiaatteella: 21 · 10 = 210 tapaa.
Tyypillinen virhe
Järjestys otetaan huomioon, vaikka sillä ei ole merkitystä. Kolmen hengen ryhmiä kymmenestä ei ole 10 · 9 · 8 = 720 vaan 720/3! = 120, koska muuten sama ryhmä tulee lasketuksi kuusi kertaa.
Valintakokeessa A
Kombinatoriikka voi tulla valintakokeessa A vastaan todennäköisyyslaskennassa sekä loogisen päättelyn ja ongelmanratkaisun pulmissa, joissa lasketaan vaihtoehtojen määriä.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 11: Todennäköisyys ja kombinatoriikka. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä n! tarkoittaa?
n! eli n-kertoma on lukujen 1, 2, ..., n tulo. Esimerkiksi 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Se kertoo, monellako tavalla n eri alkiota voidaan asettaa jonoon. Määritelmän mukaan 0! = 1, jotta kombinaatioiden kaava toimii myös reunatapauksissa.
Miksi C(10, 8) on sama kuin C(10, 2)?
Kun kymmenestä valitaan kahdeksan mukaan, samalla valitaan kaksi, jotka jäävät pois. Jokaista mukaan valittua joukkoa vastaa täsmälleen yksi pois jätetty pari, joten määrät ovat samat: C(10, 8) = C(10, 2) = 45. Laskussa kannattaa käyttää pienempää lukua.