Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on binomijakauma?
Binomijakauma kuvaa, montako kertaa tapahtuma sattuu, kun sama koe toistetaan n kertaa toisistaan riippumatta ja onnistumisen todennäköisyys on joka kerta p. Todennäköisyys saada tasan k onnistumista on P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Onnistumisten odotusarvo on np.
Kaavan tekijät vastaavat kahteen kysymykseen. Tulo pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ on yhden tietyn järjestyksen todennäköisyys, jossa on k onnistumista ja n − k epäonnistumista. Kerroin C(n, k) kertoo, monellako eri järjestyksellä onnistumiset voivat osua n toistoon.
Jakauman käyttö edellyttää, että toistoja on kiinteä määrä, toistot ovat riippumattomia ja onnistumisen todennäköisyys pysyy samana. Nostoissa ilman palautusta todennäköisyys muuttuu nostosta toiseen, joten binomijakauma ei päde tarkasti.
Odotusarvo np on onnistumisten keskimääräinen määrä pitkässä sarjassa, ja keskihajonta on √(np(1 − p)). Kysymykset muotoa ”vähintään yksi onnistuminen” lasketaan kätevästi vastatapahtumasta: 1 − (1 − p)ⁿ.
Kaava
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
odotusarvo E(X) = np
keskihajonta √(np(1 − p))
Esimerkki
Noppaa heitetään viisi kertaa. Millä todennäköisyydellä kutonen tulee tasan kaksi kertaa?
- Toistoja on n = 5, onnistumisen todennäköisyys p = 1/6 ja onnistumisia k = 2.
- C(5, 2) = 10.
- P(X = 2) = 10 · (1/6)² · (5/6)³ = 10 · 125 / 7776 = 1250/7776.
- Vastaus: noin 0,161.
Tyypillinen virhe
Kerroin C(n, k) unohtuu, jolloin lasketaan vain yhden järjestyksen todennäköisyys. Esimerkissä tulos olisi 125/7776 ≈ 0,016, kymmenesosa oikeasta, koska kaksi kutosta voi osua viiteen heittoon kymmenellä eri tavalla.
Valintakokeessa A
Todennäköisyysjakaumat voivat tulla valintakokeessa A vastaan matematiikan tehtävissä. Kurssissa binomijakauma on todennäköisyyden syventävässä luvussa yhdessä ehdollisen todennäköisyyden ja odotusarvon kanssa.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 26: Todennäköisyyden syventäminen: ehdollisuus, jakaumat ja odotusarvo. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mikä on odotusarvo?
Odotusarvo on satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo. Se kertoo, mitä tulos on keskimäärin, kun koe toistetaan hyvin monta kertaa. Binomijakaumassa odotusarvo on np, joten sadassa kolikonheitossa kruunuja tulee keskimäärin 50.
Milloin binomijakaumaa ei voi käyttää?
Binomijakauma ei päde, jos onnistumisen todennäköisyys muuttuu toistojen välillä tai toistot vaikuttavat toisiinsa. Esimerkiksi nostoissa ilman palautusta pienestä joukosta todennäköisyys muuttuu jokaisella nostolla, ja silloin käytetään kombinaatioita tai tulosääntöä. Suuresta joukosta nostettaessa binomijakauma on usein riittävä likiarvo.