Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Miten itseisarvoyhtälö ratkaistaan?
Itseisarvoyhtälö ratkaistaan jakamalla se tapauksiin itseisarvon sisällön merkin mukaan. Yhtälö |A| = b, jossa b ≥ 0, tarkoittaa, että A = b tai A = −b. Jos b < 0, ratkaisuja ei ole, koska itseisarvo ei voi olla negatiivinen. Esimerkiksi yhtälön |x − 3| = 5 ratkaisut ovat x = 8 ja x = −2.
Itseisarvo on etäisyys nollasta, joten |x − 3| on luvun x etäisyys luvusta 3. Yhtälö |x − 3| = 5 kysyy lukuja, jotka ovat viiden yksikön päässä kolmosesta. Niitä on kaksi, 8 ja −2.
Kun muuttuja on myös itseisarvon ulkopuolella, kuten yhtälössä |2x − 1| = x + 4, tapausjaon jälkeen jokainen ratkaisu tarkistetaan. Oikean puolen on oltava vähintään nolla, koska se on itseisarvon arvo.
Yhtälö |A| = |B| ratkeaa ehdoilla A = B tai A = −B. Itseisarvoepäyhtälö |A| < b tarkoittaa väliä −b < A < b, ja |A| > b tarkoittaa, että A < −b tai A > b.
Kaava
|A| = b, b ≥ 0 ⇔ A = b tai A = −b
|A| < b ⇔ −b < A < b
|A| > b ⇔ A < −b tai A > b
Esimerkki
Ratkaise yhtälö |2x − 1| = x + 4.
- Ehto: x + 4 ≥ 0 eli x ≥ −4.
- Tapaus 1: 2x − 1 = x + 4, joten x = 5. Ehto täyttyy.
- Tapaus 2: 2x − 1 = −(x + 4), joten 3x = −3 ja x = −1. Ehto täyttyy.
- Tarkistus: |9| = 9 ja |−3| = 3. Ratkaisut ovat x = 5 ja x = −1.
Tyypillinen virhe
Toinen tapaus unohtuu, tai negatiivinen oikea puoli hyväksytään. Yhtälöllä |x| = −2 ei ole ratkaisuja, koska itseisarvo on aina vähintään nolla.
Valintakokeessa A
Itseisarvo on algebran työkalu, jota voidaan tarvita valintakokeen A matematiikan tehtävissä yhtälöissä, epäyhtälöissä ja paloittain määritellyissä funktioissa. Kurssissa itseisarvoyhtälöt käsitellään samassa luvussa rationaali- ja juuriyhtälöiden kanssa.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 24: Rationaali-, juuri- ja itseisarvoyhtälöt. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Mitä itseisarvo tarkoittaa?
Luvun itseisarvo on sen etäisyys nollasta lukusuoralla, joten se on aina vähintään nolla. Esimerkiksi |−7| = 7 ja |7| = 7. Lausekkeen |a − b| arvo on lukujen a ja b välinen etäisyys riippumatta siitä, kumpi luku on suurempi.
Miten itseisarvoepäyhtälö |x − 2| < 3 ratkaistaan?
Epäyhtälö tarkoittaa, että luvun x etäisyys luvusta 2 on alle 3. Se kirjoitetaan kaksoisepäyhtälönä −3 < x − 2 < 3, ja kun jokaiseen osaan lisätään 2, saadaan −1 < x < 5. Ratkaisu on väli, jonka keskipiste on 2.