Valintakoe A: Tekniikka ja luonnontieteet
Mikä on valejuuri ja miten juuriyhtälö ratkaistaan?
Juuriyhtälössä tuntematon on neliöjuuren alla. Se ratkaistaan eristämällä juuri yksin yhtälön toiselle puolelle ja korottamalla molemmat puolet toiseen. Korottaminen voi tuottaa valejuuren eli luvun, joka toteuttaa korotetun yhtälön mutta ei alkuperäistä. Siksi jokainen ratkaisu tarkistetaan alkuperäisestä yhtälöstä tai ehdoista. Esimerkiksi yhtälön √x = x − 2 korotus antaa ratkaisut 4 ja 1, joista vain 4 kelpaa.
Valejuuri syntyy, koska korottaminen toiseen häivyttää etumerkin: sekä 3 että −3 antavat neliöksi 9. Yhtälöstä a = b seuraa a² = b², mutta yhtälöstä a² = b² ei seuraa a = b.
Valejuuret voi karsia etukäteen kahdella ehdolla. Juuren alla olevan lausekkeen on oltava vähintään nolla, ja juuren vastapuolen on oltava vähintään nolla, koska neliöjuuren arvo ei ole koskaan negatiivinen.
Juuri eristetään ennen korotusta. Jos yhtälö √(x + 3) + 2 = x korotetaan sellaisenaan, juuri ei katoa, koska syntyy ristitermi. Eristetty muoto √(x + 3) = x − 2 korottuu siististi.
Kaava
√A = B ⇒ A = B², ehdot A ≥ 0 ja B ≥ 0
lopuksi ratkaisut tarkistetaan
Esimerkki
Ratkaise yhtälö √(2x + 3) = x.
- Ehto: x ≥ 0, koska oikea puoli on neliöjuuren arvo.
- Korota: 2x + 3 = x² eli x² − 2x − 3 = 0.
- Tekijät: (x − 3)(x + 1) = 0, joten x = 3 tai x = −1.
- Arvo x = −1 ei täytä ehtoa, joten se on valejuuri. Tarkistus: √9 = 3. Ratkaisu on x = 3.
Tyypillinen virhe
Korotetun yhtälön kaikki ratkaisut hyväksytään tarkistamatta. Esimerkissä x = −1 antaa vasemmalle puolelle √1 = 1 ja oikealle −1, joten se ei ole ratkaisu.
Valintakokeessa A
Juuri- ja rationaaliyhtälöt kuuluvat algebraan, jota voidaan tarvita valintakokeen A matematiikan tehtävissä. Ehtojen kirjaaminen ennen korotusta estää valejuuren päätymisen vastaukseen.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe A -kurssin luvussa 24: Rationaali-, juuri- ja itseisarvoyhtälöt. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miksi korottaminen toiseen tuottaa ylimääräisiä ratkaisuja?
Koska luvulla ja sen vastaluvulla on sama neliö, korotettu yhtälö ei erota tapauksia A = B ja A = −B. Korotettu yhtälö toteutuu siis myös silloin, kun alkuperäisen yhtälön puolet ovat toistensa vastalukuja. Nämä ylimääräiset ratkaisut ovat valejuuria.
Syntyykö valejuuria myös muissa yhtälöissä?
Syntyy. Rationaaliyhtälössä valejuuri voi syntyä, kun yhtälö kerrotaan nimittäjällä, jos ratkaisu tekee nimittäjästä nollan. Logaritmiyhtälössä ratkaisu voi olla logaritmin määrittelyjoukon ulkopuolella. Siksi määrittelyehdot kirjoitetaan ennen ratkaisua, ja lopuksi jokainen ratkaisu verrataan niihin.