Valintakoe F: Kauppatieteet ja taloustiede
Mikä on keskihajonta?
Keskihajonta kertoo, kuinka paljon havainnot keskimäärin poikkeavat keskiarvosta. Se lasketaan ottamalla neliöjuuri varianssista eli poikkeamien neliöiden keskiarvosta. Kahdella aineistolla voi olla sama keskiarvo mutta hyvin eri keskihajonta. Rahoituksessa keskihajontaa käytetään riskin mittarina, koska se kuvaa tuoton vaihtelua odotetun tuoton ympärillä. Varianssi on keskihajonnan neliö.
Poikkeamien summa keskiarvosta on aina nolla, joten poikkeamat korotetaan toiseen potenssiin ennen keskiarvon laskemista. Tulos on varianssi, jonka yksikkö on alkuperäisen yksikön neliö. Neliöjuuri palauttaa luvun alkuperäiseen yksikköön.
Otoksesta laskettaessa poikkeamien neliösumma jaetaan luvulla n − 1, perusjoukosta laskettaessa luvulla n. Suurissa aineistoissa ero on pieni. Tehtävä tai laskimen toiminto kertoo, kumpaa käytetään.
Jos jakauma on likimain normaalijakauma, noin 68 % havainnoista on yhden keskihajonnan päässä keskiarvosta ja noin 95 % kahden keskihajonnan päässä. Vinoissa jakaumissa nämä osuudet eivät päde.
Kaava
Varianssi = Σ(x − keskiarvo)² / n
keskihajonta = √varianssi
otoksessa jakajana n − 1
Esimerkki
Sijoituksen vuosituotot viitenä vuotena olivat 4 %, 6 %, 8 %, 10 % ja 12 %. Laske keskiarvo ja keskihajonta.
- Keskiarvo: (4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 5 = 8 %.
- Poikkeamat ovat −4, −2, 0, 2 ja 4, ja niiden neliöt 16, 4, 0, 4 ja 16. Neliöiden summa on 40.
- Perusjoukon kaavalla varianssi on 40 / 5 = 8 ja keskihajonta √8 ≈ 2,83 prosenttiyksikköä.
- Otoksen kaavalla varianssi on 40 / 4 = 10 ja keskihajonta √10 ≈ 3,16 prosenttiyksikköä.
Tyypillinen virhe
Tavallinen virhe on jättää neliöjuuri ottamatta, jolloin tulos on varianssi eikä keskihajonta. Toinen virhe on verrata eri suuruusluokan aineistojen keskihajontoja suoraan. Silloin kannattaa käyttää suhteellista hajontaa eli keskihajontaa jaettuna keskiarvolla.
Valintakokeessa F
Valintakoe F perustuu osin lukion tilastoihin ja todennäköisyyteen, ja koejärjestelmässä on funktiolaskin. Aineistossa voi olla sijoitusten tuottoja tai muita lukusarjoja, joista tehtävä kysyy hajontaa, riskiä tai sitä, riittääkö pelkkä keskiarvo vertailuun.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe F -kurssin luvussa 19: Tilastollinen päättely talousaineistossa. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Miksi tulkinnassa käytetään keskihajontaa eikä varianssia?
Varianssi on poikkeamien neliöiden keskiarvo, ja keskihajonta on sen neliöjuuri. Varianssin yksikkö on neliöity, esimerkiksi neliöeuro, joten sitä on vaikea tulkita. Keskihajonta on samassa yksikössä kuin aineisto, ja siksi sitä käytetään tulkinnassa.
Miksi rahoituksessa keskihajontaa pidetään riskinä?
Keskihajonta kertoo, kuinka paljon tuotto vaihtelee odotetun tuoton ympärillä. Suuri keskihajonta tarkoittaa, että toteutuva tuotto voi poiketa paljon odotetusta kumpaan suuntaan tahansa. Sijoittajat vaativat suuremmasta vaihtelusta yleensä suurempaa odotettua tuottoa.