Valintakoe F: Kauppatieteet ja taloustiede
Miten peräkkäiset prosenttimuutokset lasketaan?
Peräkkäiset prosenttimuutokset lasketaan kertomalla muutoskertoimet keskenään, ei laskemalla prosentteja yhteen. Nousu 15 % on kerroin 1,15 ja lasku 10 % kerroin 0,90. Yhdessä ne antavat 1,15 · 0,90 = 1,035 eli 3,5 %:n nousun, ei 5 %:n nousua. Järjestyksellä ei ole väliä, koska kertolasku on vaihdannainen.
Jokainen muutos lasketaan edellisen muutoksen jälkeisestä arvosta. Siksi toinen prosentti kohdistuu eri pohjaan kuin ensimmäinen, ja prosenttien summa antaa väärän tuloksen. Kertoimella laskettaessa pohjan vaihtuminen tulee mukaan automaattisesti.
Kerroin muodostetaan lisäämällä muutos lukuun 1: +8 % on 1,08 ja −25 % on 0,75. Kertoimien tulo kertoo koko muutoksen. Kun tulosta vähennetään 1, saadaan kokonaismuutos desimaalilukuna.
Kertolaskun järjestys ei vaikuta tulokseen, joten nousu ensin ja lasku sitten antaa saman lopputuloksen kuin päinvastainen järjestys. Jos sama prosentti toistuu, ketju on potenssi: 4 %:n kasvu viitenä vuotena on 1,04⁵.
Kaava
Kokonaiskerroin = (1 + p₁) · (1 + p₂) · … · (1 + pₙ)
kokonaismuutos = kokonaiskerroin − 1
Esimerkki
Osakkeen arvo nousi ensin 25 % ja laski sitten 20 %. Palasiko arvo lähtötasolle, ja miten käy, jos lasku onkin 25 %?
- Kertoimet: nousu 1,25 ja lasku 0,80.
- 1,25 · 0,80 = 1,00, joten arvo on täsmälleen lähtötasolla.
- Jos lasku on 25 %, kerroin on 0,75 ja 1,25 · 0,75 = 0,9375.
- Silloin arvo on 6,25 % lähtötason alapuolella, vaikka nousu ja lasku ovat yhtä monta prosenttia.
Tyypillinen virhe
Tavallinen virhe on laskea prosentit yhteen: +25 % ja −25 % ei ole nolla vaan −6,25 %. Toinen virhe on laskea usean vuoden kasvuprosenttien tavallinen keskiarvo ja kertoa se vuosien määrällä.
Valintakokeessa F
Valintakokeen F aineistossa voi olla useamman vuoden muutosprosentteja taulukkona. Kun kysytään koko jakson muutosta, kertoimet kerrotaan, ja koejärjestelmän funktiolaskimella pitkäkin ketju lasketaan kerralla.
Missä kurssissa tämä opetetaan
SmartVK:n valintakoe F -kurssin luvussa 1: Prosenttilaskenta. Katso kurssin sisältö.
Kysymyksiä
Kuinka paljon arvon pitää nousta, kun se on laskenut 20 %?
Arvon on noustava 25 %. Laskun jälkeen jäljellä on 0,80 alkuperäisestä, ja paluu lähtötasolle vaatii kertoimen 1 / 0,80 = 1,25. Mitä suurempi lasku, sitä suurempi palautusnousu tarvitaan: 50 %:n laskun jälkeen tarvitaan 100 %:n nousu.
Miten keskimääräinen vuosikasvu lasketaan?
Keskimääräinen vuosikasvu on se kerroin, joka toistettuna antaa saman kokonaismuutoksen. Jos arvo kasvoi kolmessa vuodessa kertoimella 1,20, vuosikerroin on 1,20:n kuutiojuuri eli noin 1,0627. Keskimääräinen vuosikasvu on siis noin 6,3 %, ei 20 / 3 ≈ 6,7 %.
Milloin prosenttien yhteenlasku riittää?
Pienillä muutoksilla virhe on pieni. Muutokset +3 % ja +4 % antavat tarkasti 1,03 · 1,04 = 1,0712 eli 7,12 %, joten 7 % on lähellä. Suurilla muutoksilla ero kasvaa: +30 % ja +30 % on 69 %, ei 60 %.